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矩阵的性质及其在线性代数课程中的作用探究(3)

时间:2022-03-20 21:42来源:毕业论文
法运算时封闭的,并具有基本的运算性质。有趣的是,这并不是 K n 独有的性质。 还有许多各不相同的集合,在适当定义了各自的加法及纯量乘法后,也

法运算时封闭的,并具有基本的运算性质。有趣的是,这并不是 K n 独有的性质。 还有许多各不相同的集合,在适当定义了各自的“加法”及“纯量乘法”后,也

都具有这些基本运算性质。这就启发我们将 n 维向量空间加以抽象和推广,引出 一种新的代数系统—线性空间。在线性空间里反映事物之间的联系就是线性映 射。一般的一个 m 维线性空间到一个 n 维线性空间的线性映射在各自取定一组基

后和一个 m n 矩阵一一对应,特别,线性空间到自身的线性映射称为线性变换, 在一组基下,它和 n 阶方阵一一对应,因此,很多线性变换的问题都可通过矩阵 的手段和方法得到解决,可以说,线性空间和线性变换是线性代数的核心。文献综述

线性空间和线性变换现已成为近代数学中最基本的概念之一,它的理论和方 法已经渗透到自然科学,工程技术和经济管理等各个领域。

第二章 矩阵

2。1 矩阵概念的引入

矩阵最初是作为表示线性方程组的简便记法而引入的。对矩阵本身作为独立 的系统研究则始于 19 世纪 50 年代。如今,矩阵已经成为线性代数的主要研究对 象之一,是数学各分支理论和应用研究的重要工具。

2。1。1 矩阵的定义

定义 1 设 K 表示数域, aij K ,1 i m ,1 j n ,令

则称 A 为数域 K 上的一个 m n 矩阵,aij 叫做矩阵 A 的 (i, j) 一分量。当 m n

时, A 叫做 K 上的一个 n 阶方阵。

数域 K 上的全体 m n 矩阵的集合记作 K mn 。 接下来我们介绍一下相等的矩阵。设

如果 m s , n t ,并且当1 i m ,1 j n 时都有 aij  bij ,则称为矩阵 A

与 B 相等,记作 A B

2。1。2 常用矩阵[1]

(1)零矩阵

设 A (aij )mn K

mn

,若对1 i m 与1 j n 都有 aij  0 ,则称 A 为一个

零 m n 矩阵,记作 Omn 或 O 。

(2)对角矩阵

设 A (aij )mn K

mn

,若对1 i, j n ,当 i 

j 时都有 aij  0 ,即

则称 A 为 n 阶对角矩阵。来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

(3)纯量矩阵

设 A 为 n 阶对角矩阵且 a11  a22  ann  k ,既

则称 A 为 n 阶纯量矩阵或数量矩阵,特别当 k=1,即

时,A 叫做 n 阶单位矩阵,记为 En 或 E 。

(4)三角形矩阵

设 A (aij )nn K

,若当1 j i n 时,都有 aij  0 ,即

则称 A 为 n 阶上三角矩阵;若当1 i j n 时,都有 aij  0 ,即

则称 A 为 n 阶下三角矩阵。

2。2 矩阵的运算

在上一节中,我们给出了矩阵的概念,在本节中,我们将探讨矩阵的一些基 本运算方法,矩阵的加法,纯量乘法与乘法,并且给出这些运算的性质。

矩阵的性质及其在线性代数课程中的作用探究(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_91394.html
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