不等式的证明也有多种多样的方法，但是用拉格朗日乘数法来证明一些不等式较为简明，且拉格朗日乘数法程序性较强，较容易掌握，其关键就是在证明的过程中选择适当的目标函数和相应的限制条件，就可以把不等式的问题转换为求多元函数极值的问题，本文也将通过例题来介绍用拉格朗日乘数法来证明一些不等式。

2  多元函数条件极值

在实际问题中有一种类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。例如要设计一个容量为的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、宽、高分别为则表面积为，定义域是，而且必须满足条件，像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题。

2。1  条件极值的定义

函数在个约束条件 下的极值称为条件极值。

2。2  多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值的求法是多元函数微分学的重要组成部分，下文研究的是标准量代换法，不等式法，直接带入消元法，拉格朗日乘数法解多元函数条件极值问题上的运用。

2。2。1  标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量。文献综述

例1 [1]  设,求的最小值。

解 取 为标准量,令,则( 为任意实数),从而有  ，

等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为。

2。2。2  不等式法

    不等式法[2] 设是个正数，我们和分别叫做这个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为，。 对于上述个正，有，当且仅当时，等号成立。这个不等式称为均值不等式。

例2  已知，，求的极小值。      解 因为所以 

当且仅当时，等号成立。

柯西不等式[3] 如果，为两组实数，则

当且仅当(常数)时，等号成立，这个不等式称为柯西不等式。可以简述为“方和积不小于积和方”。

例3  已知，求的最值。     解 =,

设,根据柯西不等式及已知条件有即当且仅当  时，等号成立

即当时，,即当时， ,所以，。来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

    例4 设 证明 。

    证明 由题知要证  ,即要证 

由柯西不等式得且 ,即 当且仅当  时,等号成立,得证。

2。2。3  直接代入消元法

这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决,可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。

前面介绍了关于极值的充分条件，可以知道设函数在点的某邻域连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果，,设,则

（1）当时，一定为极值，并且当（或）时，为极小值；当（或）时，为极大值;