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牛顿插值算法及实现(2)

时间:2022-07-21 23:12来源:毕业论文
在我们实际生产和科研中出现的函数是多种多样的,在实际问题中经常遇到这种问题,虽然可以判断所考虑的函数在闭区间上存在且连续,但我们仅仅可以

在我们实际生产和科研中出现的函数是多种多样的,在实际问题中经常遇到这种问题,虽然可以判断所考虑的函数在闭区间上存在且连续,但我们仅仅可以通过实验观测获取其在某些个点处的函数值。不难发现,仅仅利用这张函数值表来分析函数的性质,或者直接由表求出其他一些点上的函数值是非常困难的。有时虽然可以找出函数的解析式,但可能由于结构非常复杂,不是很简单直观,在使用时不是很方便。针对这种情况,我们可以构造一个简单函数 ,作为的近似,或者做出一条通过这些离散点的光滑曲线,以便满足设计要求或进行加工[9-11]。

本论文主要有三部分,分别是基本概念的介绍、牛顿插值算法在matlab中的实现以及其在实际上的应用。

1。 基本概念及原理

1。1牛顿插值多项式及差商

函数在不同的两点处的一阶差商这样定义:

对一阶差商再求差商称为函数 在 互异)点的二阶差商:

一般的,阶差商的差商叫做函数在个互异点 的 阶差商:

由以前的知识,lagrange插值多项式的插值基函数

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公式过于繁琐,要计算的东西很多,而且会出现很多重复计算。我们这样想,由于任一个次多项式都可以表示成

个多项式线性组合而成,那么如果我们考虑这个多项式可以作为一组插值基函数。很明显,

多项式组线性无关,因此,可以作为插值基函数。设插值节点为,对应的为函数值 ,插值条件为,首先设出插值多项式具有如下形式

应满足插值条件

如果再继续下去,我们得到的待定系数的形式将更复杂。所以,lagrange插值虽然方便易算,但若要增加一个新的节点,公式中的所有基函数都需重新计算,这样牛顿插值算法就应运而生了。

由差商的结果我们可以知道,想要使所构造多项式的方法具有期望的特点,一个好的计算系数的方法是有必要的。下面的差商表可以实现的计算。

表1差商表

按照上面方法来构造插值多项式的过程就叫牛顿插值法。依据插值多项式的唯一性容易得出,牛顿插值法的截断误差与lagrange插值法的相同,即

但也可以表示成差商形式。引入记号

这是因为以为节点的多项式

从而

于是的截断误差可表示为 

    捎带说明一下,由于牛顿插值多项式具有如下的性质:

可以看成是一种实用的估计的误差估算式。

差商的性质:

    (1)  差商与函数值的关系式可表示为:

其中是介于之间的某个数。 

(2) 差商与节点顺序无关。 

(3) 差商与导数之间关系:

其中是介于之间的某个数。接着比较牛顿法插值多项式两种不同的误差表达式得出

(4)由性质(3)知,重节点差商表达式:文献综述

其中是介于之间的某个数。

(5)次多项式的一阶差商为次多项式,次多项式的阶差商是 。

(6)差商与差分之间的关系可表示为:

其中,等距节点的步长。

1。2牛顿插值算法

Lagrange插值公式结构简单且工整,理论易于分析操作。由插值基函数很容易得到符合要求的插值多项式,由上面的讨论知道Lagrange插值公式有弊端,即当插值节点的数目增加或在不同位置时,所有的插值基函数均要随之变化,进而导致整套插值公式也随之改变,这在实际计算中是会增加计算量的 牛顿插值算法及实现(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_96812.html

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