即等于在的洛朗展式中这一项的系数反号。

定理1。1  在复周线(周线)所包括的区域内,除外解析,在闭域上除外连续,则

定理1。2  设是由复周线所围成的有界连论文网

通区域,函数在内解析,在上连续,那么或写成

或写成

(沿外边界积分与沿内边界积分之和相等)。

定理1。3  如果函数在扩充平面上有有限个孤立奇点,令那么在各个点的留数和是零。

要特别注意:在的有限可去奇点处,必有,但若点为

的可去奇点,则可以不为零,比如以为可去奇点,但。

接下来为计算留数的另一个公式。

令得且平面上无穷远点的去心邻域变为平面上原点的去心邻域(如,令),圆周被变成圆周。从而易证

所以 

2。无穷远点及其应用

2。1利用无穷远点留数求复积分

例1 计算积分

解  被积函数一共有七个奇点:以及前六个奇点均含在内部。

要计算其留数极其繁琐,则可根据定理1。1和1。3得

求得在处的洛朗展式中此项的系数

因此,由公式得故。

另外,也可以应用公式,先看

它以为一阶极点,所以由公式知

2。2利用留数理论求定积分

留数理论可以使得复积分的计算过程变得简便,把其用在实变函数中也可解决一些用初等函数很难表示出的原函数或计算过于复杂的定积分的计算问题,在定积分计算中运用无穷远点,步骤如下:

(l)要用留数定理求解定积分应选择一个与被积函数有关的复变函数,把被积函数由实变函数转变为复变函数。

(2)把定积分的积分域换为区间,再用留数定理计算定积分,须把问题转化为复平面上沿某一闭曲线上的积分。

应注意以下四点: 

第一,积分闭路,大多数情况下有两部分:一部分与定积分积分区间有关,为主要部分,另一部分称为是附加部分。

第二,在积分闭路上被积函数为解析,且这为用到留数定理的一必要条件。 

第三,要能简便的求出附加路线上的积分。 

第四,多值函数应尽量避开支点,应选择恰当的割线把多值函数分解成解析分枝。 

(3)使用留数定理求得所选择的解析函数在闭路上的积分,即

其中为在曲线所围成区域内的孤立奇点。

(4)处理附加路线上的积分。

2。2。1 计算类型的积分

这一类的反常积分用数学分析中的方法很难直接计算的,若把它转化为复数域上的问题并结合留数定理则容易得出。

和均为多项式,无实根,在次数方面,比至少要高两次。文献综述

取积分路线为与实轴上的线段,围成的闭曲线,而被积函数,若在上半平面只有个根由留数定理得

在上令,有

因为的次数比的次数至少高两次,则当,

所以从而

例2   计算 

解   被积函数为偶函数,故

对于,它一共有四个一阶极点,利用,得

由于在上半平面只有两个极点和,由留数定理可得

所以来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-

例3  计算积分 

解   由题很容易得知分母与分子次数相差为2,奇点为且不在实轴上,则可积,极点为均在上半平面。

所以

2。2。2 计算类型的积分

设,为互质的多项式,并且满足下面的条件:

（1）的次数较的次数高,即；

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