本文在李山,高崚峰,陈静,王来生,周志坚,龚冬保等人研究基础上,重点介绍了辅助函数在数学分析几个定理证明中的应用。包括介值性定理,微分中值定理和定积分基本公式的证明。然后又通过这些定理并结合辅助函数的构造再证明数学分析各类证明。其中包含辅助函数在等式和不等式证明中的应用。本文主要通过辅助函数在定理证明和数学分析各类证明题中的应用来介绍辅助函数法。本文最终目的在于帮助,理解和探究辅助函数在数学分析证明中的应用并且能够灵活运用这种方法来解题。

1。辅助函数在几个基本定理证明中的应用

1。1辅助函数在介值性定理证明中的应用

介值性定理  设函数在上连续,且。若为介于与之间的任何实数或,则至少存在一点,使得

。

应用零点定理证明  引理  若函数在连续,即与异号则在至少存在一点,使。

下面证明介值性定理文献综述

证明  假设与分别是函数在的最小值与最大值,是与之间任意数。如果,则函数在是常数。显然,定理成立。如果,则根据最值性定理,在闭区间上必存在两点与,使,。不妨设,且,已知,如果或则或,定理成立。只须证明的情况。作辅助函数,根据连续函数的四则运算性质函数在连续从而在也连续,且与,根据零点定理,在至少存在一点使或即。

通过此定理的证明可得到,我们直接证明这个定理会有一定的困难,但是如果我们构造辅助函数就可以利用其它的定理来证明此定理。在数学分析课本中同样是构造辅助函数来进行证明,不过此方法较课本中方法更为简单,容易使人理解。

1。2辅助函数在微分中值定理证明中的应用

在证明两个定理之前,先叙述下罗尔中值定理。

罗尔中值定理  若函数满足如下条件

在闭区间上连续;

在开区间上可导;

则在上至少存在一点,使得。

1。2。1拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理  若函数满足如下条件:

在闭区间上连续;

在开区间上可导,

则在上至少存在一点,使得。

显然,特别当时,结论即为罗尔定理的结论,这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。

证明  作辅助函数来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

。

很明显,,并且在上满足罗尔定理的其它条件,所以有

使,移项后就是需要证明的

。

以上是数学分析课本上通过构造辅助函数法利用罗尔定理证明拉格朗日定理,以下用两种不同的构造辅助函数法来证明拉格朗日定理。

1。用行列式构造辅助函数

行列式是高等代数解题的重要手段,有非常强的操作性。它在数学分析中的证明中也经常被应用。