本文主要内容安排如下：该文章通过查阅相关资料及先关文献理解其原理。第一部分先描述了一下压缩映射原理的背景及发展前景，并由定理得出相应的推论；第二部分叙述了压缩映射原理的相关原理；第三部分介绍了压缩映射原理的应用，利用压缩映射原理证明解的存在性、唯一性、连续性、隐函数的存在性、方程近似解、以及数列的收敛性；第四部分对文章的整体把握和总结。

1。压缩映射原理及其性质

考虑方程

这个问题等价于求解积分方程

如果设

把看作某个距离空间上的映射，求解上面的积分方程，即是求解空间中满足

的变元，即求映射的“不动点”问题。

定义 1  给定距离空间及映射如果存在点是 ，则称为映射的不动点。文献综述

定义 2  给定距离空间及映射如果存在一个常，使对任取的两点有

则称是上的压缩映射,叫做压缩系数。

下面给出了完备距离空间到其自身的映射有唯一不动点的充分条件，并且给出求不动点的逐次逼近法误差估计，这一定理并不要求空间有任何其他的结构，因此其应用非常广泛也相当方便。

定理 1 (压缩映射原理) 给定完备距离空间,设是上的压缩映射，则恰有一个不动点。

证   任取，令

我们说是Cauchy列，事实上，

任取自然数，不妨设，那么

从而知 是一Cauchy列，故存在使。

我们说，是的不动点，这是因为

故。

设还有一个不动点，那么由及，得

从而,即。

    推论 1  如果是的不动点，则对任取的点及及自然数,有

此处是的第次迭代，把它叫做的第个近似解。

推论 2  是完备距离空间，如果存在常数及正整数,使对于任何都有，即存在唯一不动点,其中可以归纳定义为：。

注释 1  定理1中的映射是定义在整个上的，但实际上有些问题中遇到的映射只在的一个子集上有定义或存在压缩性质，为适应这种情形的需要我们给出相关定理。

定理 2  设是完备的,是的映射，若在的闭球来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

,是压缩的，并且满足条件

此时是满足的常数，则在内有唯一不动点。

    证明： 作为内的闭集按的距离成一完备空间，可以证明任意令，则

由上可知

注释 2  不是压缩映射，只要有某一个自然数能使是压缩的，那么仍然有唯一的不动点。

事实上，设存在,使 

令 的不动点为。同时也是的不动点，由得

于是有，即。

反之，的不动点也是的不动点，即得的不动点是唯一的。

注释 3  压缩映射的定义不能减弱为

若令，，则满足条件上式,任取,则由中值公式

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