本文先介绍了矩阵特征值与特征向量的概念及其性质,并通过实例来说明矩阵特征值与特征向量性质的具体运用,通过实例让读者更易理解特征值与特征向量。另外,对于初次接触特征值与特征向量的人们来说,也可以了解到一些简单的数学知识。文献综述
1 预备知识
1。1 特征多项式
现有数域,设是上一个维线性空间,是线性空间上的一组基,经线性变换A得到一个矩阵,我们可以这个矩阵为。 若λ是矩阵的特征值,那么特征向量ξ在基下的坐标是。 由, 这说明特征向量ξ的坐标满足齐次次方程组
由于, 则系数矩阵
称为特征多项式。
定理1设阶矩阵的特征值为,则有
数称为方阵的迹记作。
2 特征值与特征向量的理论及性质
2。1 矩阵特征值与特征向量的定义
定义1:设A为阶矩阵,若存在常数与维非零向量ξ,使
那么为矩阵A的一个特征值,ξ称为A的属于的特征向量。
定义2:设λ是A的一个特征值,存在一个维零向量,使齐次方程组
有非零解,则是属于λ的特征向量,从而有 。
齐次线性方程组有非零解的充要条件是:系数行列式
2。2矩阵特征值与特征向量的性质及其应用
2。2。1特征值与特征向量的性质
性质 设为阶方阵,存在个特征值分别为,则.
性质 设是的特征值,是的特征多项式,则 是的特征值.
性质 方阵可逆的个特征值都不为零.
性质 不是方阵的特征值.来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-
性质 (哈密顿定理) 设阶方阵的特征多项式是,则
.
2。2。2 性质的应用
例 已知阶矩阵特征值是, , , 设, 求: ①;
② ; ③ 。
解 ① 由性质可得
。 ② 因, 由性质3 可知的特征值为 ③ 的特征多项式为 令 得
问当为何值时, 可逆。
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