牛顿迭代法的应用及推广(2)

牛顿迭代法对于计算函数定积分的情况,不管计算进程怎样,计算结果的精确度都不会受到影响,因此，我们可以更便利的运用于多种产业和数学方面的策划。

本文从收敛速度。计算速度以及求解的精确度方面对牛顿迭代法作出深度剖析,从而使牛顿迭代法的意义更加深入人心，使大家更加愿意去学习该方法，从而合理的应用到学习生活中的各个方面。

1。对牛顿迭代法的认识及改进

1。1原理简介

牛顿迭代法是求非线性方程解的一种重要迭代法，它是利用泰勒展开式的前几项作连续迭代的一种求解方法。

1。2简单迭代法[1]文献综述

首先，确定方程，之后将其等价化为方程:,然后设定一个初值，将其从方程右端带入，可算得一个,直接将带入右端,又得到连续不断的带入,一个新序列{}就得到了,其中:

k=0,1,2,…,n （1）

我们把{}称为该方程的迭代序列,称为其迭代函数,式（1）被称为迭代格式。如果所得迭代序列收敛于,那么当连续时,一定可得:

即: 或

这样的迭代方法我们称之为简单迭代法。

1。3牛顿迭代法[1]

设是的一个近似根,把在处作泰勒展开:

…… （3）

为方便获得近似的线性方程，我们用前两项来对进行近似代替可得:

设,令其解为得:

（4）

式（4）称为的牛顿迭代格式,它对应的方程如下：

() （5）

显然是的同解方程,所以迭代函数为

（6）

在的根的某个邻域R（）内,,

可得,在公式（4）的迭代序列中,随机初值必在上收敛,且由上式可得在领域R内,牛顿迭代法的确定可通过迭代式（4）来实现。

由式（4）知,点被称为在（）处的切线:

可以看作是取代曲线的切线相交于X轴得到的近似值,随之取点（）,然后作切线与X轴相交,可得出……,由此可知若要使序列尽快收敛于,只要让初值无穷接近于,则序列收敛速度一定很快。

1。4牛顿迭代法的改进来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

（1）简化迭代法[2]

因为的繁琐计算过程,将用来代替,则有

改为: （7）

迭代函数为: （8）

并称其为简化牛顿迭代公式

（2）推广的简化牛顿迭代法[2]

对于（7）式来说,如果将用某个常数c取代,则一次导数值都不需要计算,其迭代格式为:

证明:根据局部收敛定理中的局部收敛条件可以得到:

当常数c满足时迭代格式（9）收敛。

（3）牛顿下山法[2]

我们在探索更快更精确方法的时候，尝试把牛顿法与下山法相结合，用下山法确保函数值能够稳定下降，再利用牛顿法使收敛速度更快，我们得到以下格式：