时滞区间系统PID控制器设计研究+文献综述(7)

当＜时：
=
当时：
当＞时，；否则。其中，，。
3.3.2 逆Nyquist曲线频率范围选取
实现可能存在的稳定范围，首先需要确定决定系统稳定性的频率。对于时滞对象的线性部分，一定存在足够大的，当＞时，时滞对象的线性部分为单调增加的，所以逆Nyquist曲线与坐标轴的位置有四种关系如图3.1所示，因此只需找到曲线与坐标轴最后一个交点所对应的频率，然后考虑适当的裕量就能得到。

图3.1 逆Nyquist图与坐标轴交点            (7)
                                              (8)
令式(7)和式(8)的解分别为和，找到这些解中最大的，考虑适当的裕量，取。
当＜＜，，则取，。
当在一、三象限时，可取。

例1：，确定稳定范围。

图3.2   逆Nyquist曲线图
如图所示：A、B、C、D四条直线把逆Nyquist曲线划分为若干区间，每个区间内与逆Nyquist曲线交点数目是不变的。通过观察可以发现，在直线A与直线C之间的区域，与逆Nyquist曲线交点数最多，为3个。故可判断稳定范围为：（-0.2,0.2092）。
特殊情况讨论：
例2：，确定稳定范围。

图3.3   逆Nyquist曲线图
在此例中，稳定区域为（-0.09798,0.1113 ），但不包含“断点” ；在时，交点数只有一个，因此不符合要求，应排除此点的干扰。
3.4 给定下平面的稳定域
当时滞系统式(5)是稳定时，根据引理2，在区间恰好有个实根，在区间恰有个实根。其中：
令，有，因此，当为偶数时，为偶数；当为奇数时，为奇数。令：
将代入得：

设的非负、相异实零点为＜＜＜＜ (＜ ) ，且令，；对于稳定的区间，必大于或等于，有                      ，为非负整数。
文献[9,13,14]表明当给定时，平面稳定区域是由一系列直线相交而成的凸多边形；结合式(6)得出这些边界线为：
                           （9）
其中，即为式(5)的解，也就是固定时，负的PID频率特性曲线和逆Nyquist曲线交点所对应的频率。
3.4.1   平面稳定范围的确定
由广义Hermite-Biehler定理，结合文献[14]有：
引理 4   为保证拟多项式(5)是稳定的，序列必须满足：
      (10)
由引理4可以得到满足式(12)的序列，序列由个元素构成，形式为。
根据序列可以确定一组线性不等式为：
              (11)
由式(11)可知，表示边界直线上方为稳定区间，反之下方为稳定区间。由满足式(10)的序列即可确定平面的稳定区域。
3.4.2 特殊情况的处理
    将代入式(5)，有：
由引理1可知，系统稳定时必有：
有如下结论：当，若，存在边界线。
1) 当＞，若系统稳定，必有＞，则；
2) 当＜，若系统稳定，必有＜，则。
当：
根据文献[13]，可知：时滞区间系统PID控制器设计研究+文献综述(7):http://www.youerw.com/tongxin/lunwen_1972.html