Wc（ω）=i/4*Л   当 －4*Л≦ω<2*Л          （1-3）

或者

Wc（ω）=－i/4*Л 当 2*Л≦ω<4*Л   （1-4）

或者

Wc（ω）=0        当 ω为其它时      （1-5）

设，所形成的图是下边的图1。1

图1。1  Wb（ω）, Wc（ω）及W（ω）图示

    W（ω）＝Wb（ω）＋iWc（ω）有下边

     W（ω）＝1/2*Л           当2*Л≦ω≦4*Л                          （1-6)

W（ω）＝0                当ω为其它时                             (1-7)

由W(w)可知，傅里叶变换如下。论文网

W（ω）＝{exp(i4Лt)-exp(i2Лt)}/ i2Лt                                      （1-8） 

           图1。2 实波图                     图1。3虚波图

有定理知，平移产生小波函数组（j，k∈Z）

W(2jt-k)={exp(i4Л(2jt-k))- exp(i2Л(2jt-k))}/ i2Л(2jt-k)  (1-9)

它在时间轴上被拉伸或压缩，并且位置沿着时间轴，移动k新的刻度单位1。

设w（t）平移得到函数族为A(t)， 

A(t)＝w（2jt－k）     （j，k∈Z）（1-10）

则A(t)的傅立叶变换为：

A(ω)＝∫a(t)e-jωtdt＝∫w（2jt－k）e-jωtdt                             (1-11)

令q＝2jt－k，则t＝（q＋k）/2jdt,于是

    描述小波层（即谁着j）的谐波振幅，振幅幅度相乘， 

    计算内积：

<W（t），w（2jt-k）> =∫w（t）w（2jt-k）dt              (1-13)

由于傅立叶变换的L2是不变的，得

    <w(t), w（2jt－k）>=<W(ω) ,V(ω)>

              =∫w(ω)V（ω）d ω                                      (1-14)

<w(t), w（2jt－k）>=<W(ω) ,V(ω)>＝0                                   (1-15)

    说明小波总是正交的。

    同层得谐波小波如w（t），w（t－k），其中（k属于整数且不为零），

    信号f(t)分解如下：    （1-17）

   要求f(t)满足:

   通常可以定义谐波小波复系数对为: 

   ajk＝2if（t） (2jt一k)dt，＝2if（t）Ψ(2jt一k)dt      （1-17）

   特别说明，当f (t)为实信号时，并不是一个新系数。小波分解将表示为：

f（t） ＝[ajkΨ（2jt-k）+(2jt一k)]  （1-19）

   一般来说，信号傅立叶分解后，获得傅立叶复数系数，光谱图可以看出结果。 类似地，可以用小波频率图表示。现在举例说明小波的特殊能力：

   x=sin(2*pi*50*t)                                              （1-20） MATLAB重载货运列车滚动轴承故障振动信号分析(3):http://www.youerw.com/tongxin/lunwen_94478.html