而本课题旨在从数学角度出发,通过对梯度、散度与旋度的概念、表达式、相互关系,以及从直角坐标系下的公式出发,通过各种方法,将直角坐标系下的表达式转化为曲线坐标下的表达式,并进行较全面的探究和总结,达到对三度的大体掌握和理解,并且简单介绍一些在图像处理中的应用,并给出相关实验结果,通过系统的学习,为今后更加深入的学习过和应用打下坚实的基础。

2  梯度

2。1  方向导数

2。1。1  方向导数的定义

   通过直角坐标系中的图像,函数 ,讨论其在一点 P

沿某一方向的变化率问题。

    当 沿l趋向于P,函数的增量 与PP’

间的距离 的比值若存在一个极限,就把该极限叫做函数在点P沿l方向的方向导数 。记作:

                           

    由以上定义可以得出,函数 在P点沿着x正方向 、y轴正方向 的方向导数分别为 、 ;沿x轴,y轴负方向的方向导数则为 、 。

并且若函数 在点 是可微的,那么函数在该点沿任意方向都存在有方向导数,且方向导数满足:论文网

                           ,

其中 为x轴到l方向的转角 。

将二元函数的方向导数定义推广到三元函数来看:

对于三元函数 ,它沿着某个方向l的方向导数可定义为:

                  ,

这之中 。

若该方向的方向角为 。

则同理可以得出,函数在此点可微时,函数在此处沿任意方向都有方向导数,且:

                       。

2。2  梯度

首先来看定义:设函数 在一个平面区域S内具有一阶连续偏导数,则对于任意一个点 ,都能给出一个向量 ,该向量就叫做函数 在点 的梯度,记为:

                       

同样将梯度的概念由二元函数推广到三元:

在空间区域E内具有一阶连续偏导数的三元函数 ,在空间区域E内的任何一个点 ,都能够定义它的梯度向量:

                   = 

它的方向和取得最大方向导数的方向是一致的,它的模的方向是它的方向导数的最大值,即:

                   

定义一个矢量微分运算符▽,同时具有矢量和微分的性质,则在直角坐标系中

                       

此时 的梯度就可以写作

                     

从这个公式就可以看出,一个标量 的梯度是一个矢量场,矢量的方向是通过各点的等值面的法线方向,矢量的数值是法线方向上的空间改变率。 

接下来介绍梯度在曲线坐标下的表达式。

2。3  曲线坐标下的梯度表达式

在介绍曲线坐标下的梯度表达式之前,我们先介绍如下概念:

在空间直角坐标系中给定的空间位置对应确定了x,y,z三个坐标,现在新引入曲线坐标 分别是x,y,z所确定的不同形式的函数,因此, 在给定点处也对应三个确定的值 。

 是三个给定常数,则 就代表了三张不同的曲面。这三张曲面均为等值面。坐标曲线即为两坐标系曲面的和的交线,如:坐标曲面 和 的交线即为 的坐标曲线。

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