而本课题旨在从数学角度出发，通过对梯度、散度与旋度的概念、表达式、相互关系，以及从直角坐标系下的公式出发，通过各种方法，将直角坐标系下的表达式转化为曲线坐标下的表达式，并进行较全面的探究和总结，达到对三度的大体掌握和理解，并且简单介绍一些在图像处理中的应用，并给出相关实验结果，通过系统的学习，为今后更加深入的学习过和应用打下坚实的基础。

2  梯度

2。1  方向导数

2。1。1  方向导数的定义

   通过直角坐标系中的图像，函数 ，讨论其在一点 P

沿某一方向的变化率问题。

    当 沿l趋向于P，函数的增量 与PP’

间的距离 的比值若存在一个极限，就把该极限叫做函数在点P沿l方向的方向导数 。记作：

    由以上定义可以得出，函数 在P点沿着x正方向 、y轴正方向 的方向导数分别为 、 ；沿x轴，y轴负方向的方向导数则为 、 。

并且若函数 在点 是可微的，那么函数在该点沿任意方向都存在有方向导数，且方向导数满足：论文网

                           ，

其中 为x轴到l方向的转角 。

将二元函数的方向导数定义推广到三元函数来看：

对于三元函数 ，它沿着某个方向l的方向导数可定义为：

                  ，

这之中 。

若该方向的方向角为 。

则同理可以得出，函数在此点可微时，函数在此处沿任意方向都有方向导数，且：

                       。

2。2  梯度

首先来看定义：设函数 在一个平面区域S内具有一阶连续偏导数，则对于任意一个点 ，都能给出一个向量 ，该向量就叫做函数 在点 的梯度，记为：

同样将梯度的概念由二元函数推广到三元：

在空间区域E内具有一阶连续偏导数的三元函数 ，在空间区域E内的任何一个点 ，都能够定义它的梯度向量：

                   = 

它的方向和取得最大方向导数的方向是一致的，它的模的方向是它的方向导数的最大值，即：

定义一个矢量微分运算符▽，同时具有矢量和微分的性质，则在直角坐标系中

此时 的梯度就可以写作

从这个公式就可以看出，一个标量 的梯度是一个矢量场，矢量的方向是通过各点的等值面的法线方向，矢量的数值是法线方向上的空间改变率。 

接下来介绍梯度在曲线坐标下的表达式。

2。3  曲线坐标下的梯度表达式

在介绍曲线坐标下的梯度表达式之前，我们先介绍如下概念：

在空间直角坐标系中给定的空间位置对应确定了x,y,z三个坐标，现在新引入曲线坐标 分别是x,y,z所确定的不同形式的函数，因此， 在给定点处也对应三个确定的值 。

 是三个给定常数，则 就代表了三张不同的曲面。这三张曲面均为等值面。坐标曲线即为两坐标系曲面的和的交线，如：坐标曲面 和 的交线即为 的坐标曲线。