在 坐标曲线上任意取两个点 ， ,那么MN沿着 坐标曲线的弧微分 ，该式中 ，其中 是 坐标曲线两点M，N在直角坐标系下横坐标值的差，且由于M,N均位于 坐标曲线上，其 坐标相等，因此 的值为0，则 ，同理可得： 则 ，同理，可以导出 ，拉梅系数 ，其中 ，则 ，从而推出基本公式 。

接下来引入曲线坐标系下的梯度表达式。由直角坐标系下梯度公式文献综述

 、 和 ，

可以得出

                       ，

并且此式与坐标系是无关的。

在曲线坐标系下，

此式中的 是一个沿坐标曲线的单位矢量 。采用待定系数的方法，即令 ，代入 中，得

 根据对应项系数对应可以得出：

     ，因此可以得出在曲线坐标下的梯度公式：

3  散度

3。1  散度

    在直角坐标系中，选取一个点 为顶点作一个平行六面体，它的三个边分别为 、 、 ，各面分别与三个坐标面平行，体积为 。设在点P的矢量为： ，之后分别计算穿过三对表面的向量 的通量，从前后一对表面穿出的净通量为