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论文对新教材《数学 必修(5)》(人教社 A 版)“数列”中“递推关系”的内容,就教材的编排
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提出了自己的建议;在新课标理念下的教学要求作了深刻的思考.
【关键词】新课标 新教材 新理念 递推关系 构造法 探究 教学 思考
1.新教材编写理念的变化
新教材对“数列”内容的呈现更加强调了直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、猜想证明等思
文过程.由数列递推关系求通项公式是学习构造法，培养学生合情推理和理性思文能力的比较理想的载体.
2.新教材中的两个问题
问题 1: (P39 B 组第 1 题)下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前 3 项.
请写出这个数列的前 5 项和数列的一个通项公式. （图略）
关系: a1
[分析]学生容易归纳得出该数列的两个递推
②.那么，如何求通项
= 1, a n = 1 + 8a n −1 ( n ≥ 2)
①;
a1 = 1, a n = a n −1 + 8 n −1 ( n ≥ 2)
公式?通项公式是否一样?对于刚刚接触数列概念的学生来说是很困难的.
问题 2: (P77 B 组第 6 题)已知数列{ a n }中， a1
= 5, a 2 = 2, a n = 2a n −1 + 3a n − 2 （ n ≥ 3 ）
，对
[分析] 对这个递推关系变形的方向是什
于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？
探究内容的新高度.
么？如何构造新数列进行求解？这类数列的特征是什么？这些问题对学生来说都是难点，也是新教材设计
如何处理好教材中的这些内容?如何把握好新课标的教学要求？我认为在处理数列递推关系问题时,应
该逐步搭建如下几个平台,让学生了解处理数列递推关系的基本方法---构造法,即化归为新的等差或等比
数列来求解通项公式,从而达到新教材设计的新要求.
3.搭建几个发展平台
教师必须强调两个基本原理：① a n
= (a n − a n −1 ) + (a n −1 − a n − 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (a 2 − a1 ) + a1 ,称为
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累加法.② a n
=
a n a n −1a
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ a1 ( a n ≠ 0 ， n ∈ N ∗ ) ),称为累乘法.
a n −1 a n − 2a1
3.1 平台(一): 数列
{a n }满足: a1 = a, an+1 = a n +
an
f ( n)
,可类比累加法求通项公式 a n .
3.2 平台(二) :数列
{a n }满足: a1 = a, a n+1
= f (n) ( a n ≠ 0 ， n ∈ N ∗ ),可类比累乘法求得 a n .
(其中 b, c 为常数, b
3.3 平台(三) :数列
方法(1):设 a n +1
{a n }满足: a1 = a, a n+1 = ba n + c
≠ 1, bc ≠ 0, n ∈ N ∗ ).
+ λ = b(a n + λ ) ,可得 λ =
cc
,令 bn = a n +,则 bn +1 = b ⋅ bn , {bn } 为
b −1b −1
等比数列,求 bn 即可求得 a n .
方 法 (2):
a n = ba n −1 + c
,则
a n +1 − a n = b(a n − a n −1 ) (n ≥ 2)
,令
bn = a n +1 − a n
,即
bn = b ⋅ bn −1
(n ≥ 2) ,从而转化为等比数列及平台(一)求得 a n .
这类数列的本质特征是每一项加上某一个相同的常数构成等比数列.
3.4 平台(四) : 数列
{a n } 满足 a1 = a, a n+1 = A ⋅ a n + B ⋅ n + C (其中 A 、 B 、 C 为常数，且
A ≠ 1, A ⋅ B ≠ 0, n ∈ N ∗ )，求 a n .这类数列的本质是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相加而