低秩矩阵恢复优化算法设计与实现(2)
在近几年的研究中，基于稀疏表示的压缩感知(compressed sensing/ compressed sampling，CS)［8,9］在理论上取得了长足的进展，这些进展促使稀疏表示成为另一种更加有效的数据表示方式。低秩矩阵恢复将向量样本的稀疏表示推广到矩阵的低秩情形，使得低秩矩阵恢复已成为继压缩感知之后又一种重要的数据表示方式。
低秩矩阵恢复先将数据矩阵表示为低秩矩阵与稀疏噪声矩阵之和，再通过求解核范数优化和矩阵L1范数优化问题来恢复低秩矩阵并检测出稀疏噪声。目前，低秩矩阵恢复主要由鲁棒主成分分析( robust PCA，RPCA)［7,10,11］、矩阵补全( matrix completion，MC)［6］和低秩表示( low-rank representation，LRR)［12,13,14］等三类模型组成。
1.2. 低秩矩阵恢复的应用
视频背景建模和前景运动目标检测[15,16] 鲁棒主成分分析（RPCA）可用于监控视频的背景建模中。 对于由固定相机拍摄到的监控视频数据， 可以通过数据帧采样得到图像序列。然后将每幅图像拉伸为一个列向量， 再将所有与图像序列对应的列向量组成一个矩阵，显然列向量存在线性相关性。稳定的背景部分对应于低秩矩阵部分；而运动的目标构成视频的前景对应于稀疏矩阵部分。采用低秩矩阵分解算法，可将由图像序列对应的观测矩阵进行分解，得出低秩矩阵和稀疏矩阵。这便可成功地将静止的背景和运动的前景目标分离，从而可用视频背景建模和前景运动目标检测，如图1所示。
1 视频背景建模。从左至右依次为原始视频数据、视频背景和前景运动目标
基于低秩稀疏分解的鲁棒联合图像对齐（Robust alignment by sparse and low-rank decomposition）[16] 基于低秩稀疏分解的鲁棒联合图像对齐方法(RASL), 被用来对齐一组本质上存在高度线性相关的图像。同时可以去除图像中存在的受遮挡、光照强弱等因素造成的较大的噪声。这种方法可以看作是低秩矩阵恢复模型的一种拓展应用。它通过寻找一组最佳的图像旋转变换参数，使得经过旋转变换后的一组图像所构成的矩阵（列向量存在相关性）能够被分解为一个低秩矩阵(代表对齐后且恢复出的图像) 与一个稀疏矩阵(受遮挡、光照强弱等因素产生的噪声)之和。一些实验表明这种鲁棒联合图像对齐的方法在自然条件下采集到图像样本集上表现得较好。另外，该方法对联合图像去噪、视频去抖动、人脸识别等均有帮助。图2是鲁棒联合图像对齐的应用。
2 RASL 上半部为原始图像，下半部分为对齐的图像
纹理的变换不变表示（Transform Invariant Representation of Textures）[17] 计算机视觉的一个基本问题是匹配两个图像之间的点或区域。这个问题特别具有挑战性，主要是因为纹理在不同视角可以表现出从很大的不同。一种基于低秩矩阵恢复的算法——TILT，它可以根据平坦的表面纹理得到一个变换不变的低秩表示（transformation-invariant low-rank representation）。这种解决方案采用矩阵秩来度量纹理的对称性，并基于矩阵秩最小化优化的最新进展来找到不变表示。其基本思想是：将每幅图像看作一个矩阵，并寻求一种变换使得变换后的矩阵可以表示为一个低秩矩阵与一个稀疏矩阵之和。我们考虑一个低秩的纹理图像 ，并且矩阵 的秩远小于 。假设给出一个对象的图像I（含有低秩的纹理的窗口）。考虑到场景可以被弯曲和损坏，所以不具有低秩性。因此我们采用一个变换算子 ，使得变换后的图像 具有较低的秩，同时稀疏误差项可以补偿大的噪声（如部分遮挡），在图3中红色方框是包含低秩纹理的窗口，绿色方框为变换的目的窗口。