4  基于高阶奇异值分解的非局部自适应去噪方法 19

4。1  HOSVD相关理论 19From+优!尔.YouErw.com 加QQ75201`8766

4。1。1  张量的基础知识 19

4。1。2  CP分解 20

4。1。3  TUCKER分解 21

4。2  基于HOSVD的图像去噪方法 22

4。2。1  基于HOSVD的改进方法 22

4。2。2  参数自适应选择 24

4。2。3  数值实验及其分析 25

结论  28

致谢  29

参考文献30

1 引言

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，是矩阵分析中对正规矩阵进行酉对角化方法的一种推广。目前，利用SVD的许多优良的数学性质，SVD已经在许多工程领域的应用中取得了巨大的成功。例如，SVD中的数值大的奇异值蕴含着矩阵最多的能量，SVD是在最小二乘意义下用尽可能少的系数表示最大信号能量的最优矩阵分解，根据这样的性质，我们可以得到基于奇异值分解的低秩近似方法，这种方法可被用于信号和图像的去噪、压缩等问题[1,2]，因为噪声以及可被压缩的成分都对应着较小的奇异值；SVD是一种将系统分解成一组线性无关成分的高效而稳定的方法，利用它可将图像空间分成相互正交的主子空间和亚子空间，主子空间中包含图像的主要结构和成分，而亚子空间中则主要包含噪声、弱结构成分等，利用这样的性质SVD也常被用于图像去噪和对图像添加数字水印等。基于SVD的主成分分析（Principle component analysis ，PCA）方法[3]，在大数据降维方面取得了巨大成功，成为大数据处理方面的重要工具之一。由于奇异值分解的稳定性和可靠性，奇异值分解在包括图像处理在内的很多工程领域越来越受欢迎。源-于,优Z尔%论^文.网wwW.yOueRw.com 原文+QQ752018~766

然而，传统的SVD分解是针对二维矩阵分解提出来的，这使得奇异值分解有其自身的局限性。随着新型传感器、计算机通信与网络技术的飞速发展和广泛应用，人们所要面临的数据已经不再是单一信号或者二维图像，而往往是规模更大、维数更高、结构更复杂数据，二维数据的处理方法已经不能满足人们的需要了。针对高维数据的处理，通常的做法是降维。例如，对于三维数据，通常采用的方法包括将三维数据通过“切片”的方式，分解为“2+1”的方式来处理，即先处理切片的二维数据，然后再在第三个纬度上采用一维数据的处理方法，目前图像去噪中效果比较好的BM3D[4]等方法就是采用的这种方式；还有一种方式是利用矩阵的向量化方法将三维数据“拉”成一个二维矩阵来进行处理，目前常用的基于SVD的三维数据处理大都采用这种方式，最近石光明等人提出的一种非局部的具有空间自适应性的迭代奇异值阈值的图像去噪方法（spatially adaptive iterative singular-value thresholding，简称SAIST就是采用这种方式。这种方式虽然实现起来非常方便，但是将三维数据变成一个二维数据来处理，会破坏数据的内部结构。针对这个问题，基于传统的SVD分解，人们发展出了高阶奇异值分解（high order singular value decomposition, HOSVD）方法。HOSVD是对二维SVD的在高维情形下的一种拓展，它继承了一些SVD的优良性质（比如：子张量正交性）。目前，HOSVD在高维多通道数据的处理例如视频去噪方面等方面已有所应用。

本文首先总结SVD的基本理论，并对基于SVD的图像处理应用（比如：数字水印，图像压缩和图像去噪）进行实验和分析，然后就图像去噪方面进行深入研究，特别介绍了SAIST方法，该方法首先基于相似性度量对图像局部块进行分组，然后将相似图像块放在一起来进行处理，这在很大程度上提高了去噪效果以及图像细节保持能力。但由于此时相似块组构成的是三维数据，因此该方法将三维数据“拉”成二维数据之后，再进行SVD分解来实现低秩逼近，会破坏图像块内部的数据结构。针对这个问题，本文对SAIST方法进行改进，对相似块进行分组之后，对于三维数据直接用HOSVD方法进行处理，并对模型中的部分参数进行了自适应处理，进一步提高了去噪效果以及纹理细节保持能力。论文网