MATLAB嵌入式零树编码算法实现+文献综述(6)
Fourier 变换做了深入研究，创造性地提出“小波”的概念，并建立了以其名字命名
的 Morlet 小波，该方法在地质数据处理中取得了巨大的成功。小波的基本思想是通
过一个母函数在时间上的平移和尺度上的伸缩，获得一种能自动适应各种频率成分的
有效的信号分析手段。小波变换与 Fourier 变换非常相似，其基本的数学思想来源于
经典的调和分析，都是将信号与一个具有两个参数的函数族作内积运算。不同的是
Fourier 变换以三角函数作为基底对信号进行展开，小波变换则以局部化函数所形成
的相似函数作为基底对信号进行展开。小波变换发展了短时 Fourier 变换的局部化思
想，其窗口可随频率增大而缩小，随频率减小而放大。在分析非平稳时变信号时，既
能用持续时间很短的高频基函数去分析信号的高频成分，又能用持续时间相对较长的
低频基函数去分析信号的低频成分。小波变换在时域、频域内具有良好的局部分析特
性，在信号分析、图像处理、数据压缩、计算机视觉等很多领域得到了广泛的应用。
小波变换作为一种新的分析方法，它的产生、发展、完善和应用始终受惠于计算
机科学、信号处理、图像处理、应用数学、物理学、地球科学等众多科学领域和工程
技术应用领域的专家、学者和工程师们的共同努力。正因为如此，小波变换现在己成
为科学研究和工程技术应用中涉及而且及其广泛的一个热门话题。
3.2 小波变换的定义[16]
类似于 Fourier分析，小波分析分为两种变换，即连续小波变换和离散小波变换。
连续的小波变换的形式化定义，其定义如下：
若 ，函数的内积为:
在(3.1)式中，a>0是尺度因子，b是位移因子，b∈R;其中 ϕ ∈ L
(3.2)
上式中 是 的傅氏变换，该条件称为允许条件。小波变换的变换基的选
择必须满足(3.2)。傅氏变换中，变换基是固定的，而小波变换基是多变可选的，根据
不同的需要选择适当的小波基。在具体应用中，根据原函数 的特点来选择小波变
换基 ，使得小波变换能更好的反映 的特征。
在实际应用中，我们不能用计算机来实现连续小波变换。因此，需要将其离散化。
离散小波变换(Discrete Wavelet Transform，简称为 DWT)采用对数函数量化尺度参数，
而时间参数则依赖于尺度函数，对于不同的应用，对数的底可以取不同的数，最常用
的是取 2。如果采用以2为底的对数变化，则在时间轴上的采样速率也以2为因子进
行变化。
将连续小波的尺度和平移参数离散化，即令
则信号 f(t)的离散小波变换定义如下:
由于我们处理的数字图像是一种离散的二文信号，因此要对其进行二文离散小波
变换。二文离散小波变换和我们熟悉的二文离散傅立叶变换类似，只需要对数字图像
在行和列方向上分别做一文的离散小波变换即可完成。
3.3 多分辨率分析和 Mallat算法[8][9][10]
3.3.1 多分辨率分析的提出
小波分析既然被称为“数学显微镜”，那么小波变换必须具备如下特点:
(1)当尺度因子a 较大时，视野宽而分辨率低，只能观察概貌;