有限元法是大型复杂结构或多自由度体系分析的有力工具，近20年来己广泛地用于:工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。电子计算机的出现和发展，使有限元法在许多实际问题中的应用变成现实，并且有广阔的前景。

自然界中不论是生物、地质还是力学的每一现象，实际上都可借助于物理定理，按照与各种主要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程来描述。确定具有奇特形状的孔洞、许多加劲杆以及承受静力、热力和空气动力的一个压力容器中的应力分布，查明在海水或空气中污染物质的浓度，以及为了求解并预示形成龙卷风和雷暴雨的机理而模拟大气中的气候，这些都是许多重要实际问题中的几个例子。推导这些问题的控制方程式虽然不是十分的困难，但要用精确分析方法对它们求解却是一个棘手的任务。这时，近似分析方法提供了求解的另一种手法，在这些近似方法中，有限差分法和变分法，诸如Ritz法和Galerkin法，在文献中是最经常采用的。

在一个差分方程的有限差分近似式中，以差商来代替方程式中的导数，该差商包含了在域中各个网格点上解得的值。引入边界条件后解这些方程式，可得各网点处的数值。有限差分法在概念上虽然简单，但它具有一些缺点。最明显的缺点是近似解的导数不准确、沿非线性边界难于引入边界条件、几何上复杂的域难于精确表达以及不适用于非均匀和非矩形的网格。

在微分方程的变分解中，将微分方程换成一个等效的变分式，然后假定其近似解为己知的近似函数 的组合（ ），参数 按实力式确定。变分法的缺点是对于具有任意域的问题难以建立近似函数。

有限无法由于提供了推导近似函数的系统步骤，因此它克服了变分法的困难。这个方法优于其它方法，它具有两个基本特点:第一，以一批几何上简单的子域(称为有限元)表示一个几何上复杂的域:第二，对每一个有限元运用基本的概念推导近似因数。这个概念是用一个线性的代数多项式组合来表达一个任意连续的函数。按插值理论的概念推导近似函数，因此称它为插值函数。于是有限元法可解释成是变分法的一个逐段应用(例如Ritz法相加权残数法)。其中，近似函数是代数多项式，而待定参数代表边界上和单元内部有限个额定点(称为节点)处的解答值。由插值法理论可以发现插值函数的阶数(或次数)取决于单元中节点的数目。

随着计算技术的飞速发展，出现了开发对象的自动离散及有限元分析结果的可视化显示的热潮，使有限元分析的“瓶颈”得以逐步解决。对象的离散从手工到半自动到全自动;从简单对象的一维单一网格到复杂对象的多维多种网格单元;从单材料到多种材料;从单纯的离散到自适应离散;从对象的性能校核到自动自适应动态设计、分析。这些重大发展使有限元分析摆脱了仅为性能校核工具的原始阶段。计算结果的可视化显示从简单的应力、位移和温度场等的静动态显示-源^自,优尔<文.论(文]网>www.youerw.com、色彩色调显示，一跃变成对模型可能出现缺陷(裂纹等)的位置、形状、大小及其可能波及区域的显示。这种从抽象数据到计算机形象化显示的飞跃，是现在甚至将来计算程序设计、分析的重要组成部分。

2.2 有限元的基本概念

有限元法(Finite Element Method，FEM)，也称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体。根据不同分析学科，推导出每一个单元的作用力方程，组成整个结构的系统方程，最后求解该系统方程。