在表 2。1 中，材料的配方是影响元件使用寿命的因素，四种不同配方表明因素处于四种状

态，称为四种水平，这样试验称为 4 水平试验。根据表 2。1 中的数据可知，不仅不同配方的 材料生产出来的元件使用寿命不同，而且同一配方下的元件使用寿命也不一样。分析数据波 动主要是由以下两个方面造成的：

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（1）在同样的配方下做若干次寿命试验，试验条件大体相同，因此数据的波动是由于其 他随机因素的干扰所引起的，设想在同一配方下的元件的使用寿命应该有一个理论上的均值， 而实测寿命数据与均值的偏离即为随机误差，此误差服从正态分布。论文网

（2）在不同配方下，使用寿命有不同的均值，它导致不同组的元件间寿命数据的不同。 对于一般情况下，假设试验只有影响因素 A 在变化，其他影响因素不变。A 有 r 个水平 A1， A2，„，Ar，在 Ai 水平下进行 ni 次独立观测，令 xij 表示在因素 A 的第 i 个水平下的第 j 次试

验的结果，得到试验指标列在表 2。2 中。

表 2。2 单因素方差分析数据

A1 x11 x12 ⋯ x1n1 总体N  μ1, σ2 

A2 x21 x22 ⋯ x2n2 总体N  μ2, σ2 

A3 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮

A4 xr1 xr2 ⋯ xrnr 总体N  μr , σ2 

2。1。1 数学模型

把水平 Ai 下的试验结果xi1 , xi2 , ⋯ , xin  看成来自第 i 个正态总体Xi~N  μ , σ2

值，此中μi , σ2均未知，并且总体 Xi 之间都互相独立。考虑线性模型：

 的样本观察

xij  = μi  + εij  , i = 1,2, ⋯ , r, j = 1,2, ⋯ , ni （2。1。1）

其中，εij ~N 0, σ2  且相互独立，μi为第 i 个样本总体的均值，εij 为相对应的试验误差。

对照因素 A 的 r 个水平的差异归结为比较这 r 个样本总体均值，即进行假设检验：

H0: μ1  = μ2  = ⋯ = μr   ， H1: μ1，μ2， ⋯ ，μr不全相等。 （2。1。2）

记μ = 1      r

n μ  ，n =    r

n ，α

= μ  − μ，其中 μ 表示总和的均值，α 为水平A 对指

n i=1     i   i

i=1    i i i i i

标的效应，不难验证 r niαi  = 0。

模型（2。1。1）可以等价地写成：