摘要：本文主要介绍二阶常微分方程的求解方法。首先,通过幂级数法、特征方程法、拉普拉斯变换法、升阶法等对二阶常系数微分方程进行求解。其次，确定Lipshitz常数,通过Picard函数列逼近法求二阶变系数方程的近似解。这为我们进一步研究常微分方程提供了基础。84499

毕业论文关键词：二阶常微分方程; 幂级数; 拉普拉斯变换; Picard函数列逼近。

Study of the Second Order Ordinary Differential Equation Method

Abstract:This paper describes the method for solving second order ordinary differential equations。First, power series characteristic equation method Laplace transform ascending order method of second order differential equations with constant coefficients are solved。 Secondly, it is determined Lipshitz constant approximation by Picard Second Order function Sequence method of equation with variable coefficients。,this provides the basis for our further study of ordinary differential equations。

。    Key words: Second order ordinary differential equations; Power series; Laplace transformation; Picard function approximation。

目    录

摘 要 1

引言 2

1。二阶常系数微分方程的基本方法 3

1。1幂级数解法 3

1。2特征方程法 4

1。3拉普拉斯变换法 5

1。4多项式法 6

1。5升阶法 6

1。6因子分解法 7

2。 二阶变系数微分方程的基本方法 8

2。1 Picard函数列逼近法 8

2。2变量代换法 12

结束语 13

参考文献 14

致  谢 15

二阶常微分方程求解方法的研究

   引言

20世纪以来，随着大量的科学技术的产生和发展，在现实生活中出现的一些现象大都可以抽象为微分方程。而为了研究各个元素之间的关系,必须对方程进行求解,因此研究微分方程的求解问题具有一定的现实意义。常微分方程作为微分方程和其他学科的基础,一直以来受到许多专家和学者的重视。根据常微分方程的基本理论,任何非齐次线性常微分的解都可以归结为齐次线性微分方程的基本解。对于齐次微分方程而言,通过降阶法可以将高阶的方程转化为低阶方程然后进行求解,所以在讨论微分方程的求解问题时,低阶常微分方程的求解起着很非常重要的作用。虽然二阶变系数微分方程很难求解,但在一般的著作中它通解的结构有着十分完美的结论,但却没有通用的方法。论文网

微分方程的求解方法已经有很多研究成果,如特殊函数法,将自变量的对数变换为常系数,把变系数微分方程化简为常系数微分方程来求解。文献[1]通过构造算法,通过求数值解对二阶微分方程的初值问题进行研究。文献[2]首先通过函数变换的方法,以一阶微分方程组代替原来的二阶变系数微分方程,然后通过矩阵知识求出其通解。文献[3]主要通过把二阶变系数微分方程的初值问题转化为Riccati方程,然后由Picard逐步逼近函数列求出方程的近似解。但是,通过某种特殊的变换来解决微分方程中的一类方程是没有一般求解方法的,所以学者们对二阶变系数微分方程的求解方法的研究有着十分浓厚的兴趣。