其中为正整数。当时称为方程的单根；当时称为方程的重根，此时有

第二章  不动点迭代法与收敛性

2。1  不动点迭代法

    将非线性方程改写成其等价形式  （2—1）

并且假设是连续函数，此时我们任取一个初始近似值，将它代入（2—1）式的右端，即可求得，按照上面的方法进行下去，设当前点为，由计算出，即

称为迭代函数，称上述的迭代公式（2—2）是不动点迭代法，（也称为简单迭代法或逐次迭代法）。若式（2—2）产生序列，当连续，且序列收敛于时，有

即有，所以是方程的根。

例 2。1  用不动点迭代法，求方程。

    解：将原方程改为其等价方程，其中有两个等价方程分别为：

   （1）方程1:,若取初值，由迭代法（2—2）得

明显迭代法是发散的。

    （2）方程2: ，仍取初值       ，以此类推，得到

        ，此时已收敛，故原方程的解为：。

从例2。1的计算结果可知，不同的迭代公式，其迭代序列的收敛情况将会有很大的差异；可能呈现出发散或无意义的情况，就算是收敛的，其收敛的速度也是不同的。为使迭代序列收敛，且有一个较快的速度，迭代公式的选取是非常重要的。

2。2  收敛性

用不动点迭代法求解非线性方程的关键在于适当构造迭代公式，不同的迭代公式收敛的速度不同，有些可能发散。

定理 2。1  设迭代函数在上连续满足如下两个前提：

(1)对任意，有；

(2）存在一个正常数，对任意有

            ，                      （2—3）

则在上存在唯一的不动点。

 证  先证存在性：若或，明显在上存在不动点。又由于，不妨设及，定义函数

                ，

明显，且满足，由零点定理，存在使，即，所以为的不动点。

再证唯一性：设及都是的不动点，则由条件（2）得

矛盾，故的不动点只能是唯一的。

 定理 2。2  设满足定理2。1中的两个前提，则对任意，由（2—2）式获得迭代序列收敛到的不动点，且有误差估计

证  设是在上的唯一不动点，由拉格朗日定理及公式（2—3）可得，

因为，故当时，序列收敛到。文献综述

下面证估计式(2—4)成立。由（2—3）式有，

因此对任意正整数，有

当时，有，即（2—4）式得证。

同理，可以得到

当时，（2—5）式成立。

由定理2。1、2。2得迭代序列在区间上的收敛性即全局收敛性。但是它有时候不容易检验定理的条件，但是通常在实际应用中只在不动点的邻近考察其收敛性，即局部收敛，接下来将为大家介绍局部收敛的定义。

 定义2。1  设有不动点，如果存在的某个邻域，对任意，（2—2）式产生的迭代序列，且收敛于，则称迭代法（2—2）局部收敛。

定理2。3  若是的不动点，在的某邻域上存在且连续，并满足，则迭代过程在的邻域是线性收敛的。

    例2  用迭代法求方程的近似解，确切到小数点后面6位。

解：由于，则；

 时，，

因此是有根区间（本题有两种构造形式）