，均值不等式可以说是来源于这个等式的。其中，当且仅当时，的等号才成立，因此，也是等号成立的条件。现在在不等式中用x来代替，用y来代替，那么这个不等式变化为：，这即是所谓的均值不等式。这个均值不等式也有相关的限制条件，其等号成立的条件是，此外 ，x，y必须满足x﹥0, y﹥0的条件。

在数学理论中，不等式理论又有重要的地位，而均值不等式在不等式理论中居于核心地位，在现代分析数学中是应用最为广泛的不等式之一。因此，对均值不等式的研究有着重大的意义。

1。1。2均值不等式的定义

    均值不等式，又名为平均值不等式，平均不等式，外文名为“mean inequality”，在数学中是一个重要的公式，公式内容：，即调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数，可简记为“调几算方”（这里我们先介绍它的通式）。文献综述

    具体的，

这是调和平均数。

这是几何平均数。

这是算术平均数。   

这是平方平均数。

上面所描述的内容是均值不等式的通式形式，而均值不等式在高中阶段引入我们教学内容时是以二维的形式，即上式中n=2。这样我们得到一般情况下我们所熟悉的均值不等式：，在高中阶段的学习中，及大学的高等数学学习中，二维的均值不等式仍是我们的主要学习与运用对象。因此在本篇论文中，二维均值不等式仍是主要的研究内容。

1。2均值不等式的基本性质

性质1。 对任意实数a，b，存在（当且仅当时，“=”号成立），  （当且仅当时，“=”号成立）；

性质2。 对任意非负实数a，b，存在,也就是；

    例1：已知a、b、c（0，＋∞），且a + b + c = 1，求证++9．

    解析：原式＝（++）（a + b + c）＝3＋()＋()＋()3＋2＋2＋2＝9当且仅当a = b = c =时取等号。

性质3。 对任意非负实数a，b，存在；

    例2：已知a、b、c，且。求证：

    分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。

    解：因为a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

。

当且仅当时取等号。

性质4。 对任意实数a，b，存在；

性质5。 对任意非负实数a，b，存在；

性质6。 对任意实数a，b，存在；

性质7。 对任意实数a，b，c，存在；

性质8。 对任意非负实数a，b，存在；

性质9。 对任意非负实数a，b，c, 存在；

    以上内容是根据均值不等式的通式，赋予“n”不同的值及稍微变形得到的。熟练地掌握这些内容对我们学习均值不等式及具体运用均值不等式有非常大的帮助，而且在学习与运用的过程中，我们可以具体问题具体分析，加以相应的变形和推广应用。  来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

1。2。1对均值不等式定理的理解及简单运用

    两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，这就是我们在高中阶段所学的均值不等式定理，在不等式的证明，不等式的应用中，这个定理是非常重要的依据和工具。在历年高考试题中，均值不等式定理都占有一席之地。

定理：如果均是正数，那么有（当且仅当时，该式取等号）

证明：，，即（当且仅当时，