反证法是牛顿口中“数学家最精当的武器之一”。而反证法也不仅仅是在数学证明和解题中使用频繁,它在其他相关领域也有重要的作用。反证法也常常应用于中学数学的学习中,它不仅仅是一种解题的方法,更是一种锻炼学生逆向思维以及逻辑思维的一种有效手段,对训练学生用创造性的思维方式来解决问题并提高数学能力有着非常重要的意义。接下来我们就来谈谈数学证明间接方法之一的反证法。

二、反证法的概念、逻辑依据、种类以及证明步骤

    “道旁苦李”的故事在学习反证法的时候经常会被提及:七岁的王戎在和几个小伙伴出游时,发现道路旁边有几棵果实累累的李树,小伙伴们开心得竞相折枝摘李,只有王戎没有参与其中,同伴们问他站在路边的原因,王戎解释说,“这棵李树长在路旁却没人摘,说明这李子一定很苦。”从数学的角度在看待这个故事中王戎的行为,他通过间接的方法证明李子为什么是苦的,这就是本文接下来所要重点论述的反证法。

（一）反证法的概念

    当一个数学命题从正面证明很难或者无处下手时,我们往往会从这个命题的反面去考虑,我们称之为间接证明法,其中就包括反证法。根据法国数学家阿达玛说过的一句话:“反证法在与表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。”这句话的具体意思是,证明某个数学命题时,先假设结论的反面为真,然后把假设看成已知条件,通过一系列有逻辑依据的推理,导出与已知事实(包含已知条件、公理、定理、定义、法则、客观事实等)相矛盾的结果,从而来推出假设不成立,则原命题成立。这种肯定题设而否定结论的间接证明方法就叫做反证法。

    在中学数学中,一些不易从正面直接证明的命题,如“唯一性命题”、“否定性命题”、“限定型命题”、“必然性命题”、“起始性命题”、“无限性命题”、“不等式证明”等,我们常常使用反证法来证明,下文会通过具体例子分析总结。论文网

例1：已知：A,B,C为三个正角，且 ，求证： 

        证明：假设 ，

              由A,B,C为三个正角可知 ，则

              即1≤1，矛盾，故假设不成立，

              则原命题“ ”成立

例2：已知： ，且 ， ，求证： 中至少有一个是负数     

     证明：假设 都是非负数，

           又 ， ∴ ，这与已知 相矛盾，故假设不成立，

           则原命题“ 中至少有一个是负数”成立

（二）反证法的逻辑依据

由于很多教科书在提到反证法时把它的逻辑依据简单地概括为原命题与逆否命题等价,这可以说只是看到了反证法的表象而忽略了它的实质,即反证法和其他的证明方法一样,其推理的过程都遵循形式逻辑中基本规律的要求。反证法的原理可以归结为逻辑三大基本规律中的“矛盾律”以及“排中律”。

“矛盾律”是指在同一思维过程中对于一对矛盾的判断,不能同真,必有一假;“排中律”是指在同一思维过程中对于一对矛盾的判断,不能同假,必有一真。在利用反证法的证明中,由“矛盾律”,得出与题设、公理、定理、定义等相反的结果,从而假设不成立;由“排中律”,得出原结论与假设对立矛盾,从而假设不成立,即可推出原结论成立。因而,反证法的每一步都有其逻辑依据,是一种科学的证明命题的方式。在直接证明某一命题遇到困难的时候,根据“矛盾律”和“排中律”,只要证明这一命题的否定为假即可。例如，要直接证明 是无理数有困难时，我们可以通过证明 是有理数这个命题为假，从而间接证明原命题为真。