1905年，自Jensen第一个用不等式定义了凸函数，Jensen不等式由此得名。凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen型不等式来体现的，特别是近些年里提出的凸函数概念中都有相应的Jensen型不等式。而在某些特殊类型的凸函数上，如几何凸函数、对数凸函数，可由Jensen型不等式推导出Hadamard型不等式。由此看来Jensen型不等式和 Hadamard型不等式是有着一定的联系的。

本文对几何凸函数、对数凸函数、P方凸函数、GA-凸函数，HG-凸函数这五种类型凸函数的定义、两类不等式的性质作出了较为详尽的介绍，并根据两类不等式的性质证明一些特殊的不等式。

2 关于凸函数

自凸函数的概念建立后，凸函数便是现代数学中最广泛使用的概念之一，凸函数的概念与方法在数学的各个分支中有着广泛的应用，尤其是在不等式的证明中的作用是无可替代的，它的应用价值和重要性被越来越多的人所熟悉。凸函数具有很多好的性质，其凸性是证明不等式的重要工具。利用凸函数的凸性证明一些不等式，就是它的一个应用领域。

3 各类凸函数的性质

3。1  几何凸函数文献综述

定义1   设区间 ，函数 满足条件：

 ，都有                      （3。1）

则称 为 上的几何下凸函数；若不等式（3。1）反向，则称 为 上的几何上凸函数。

3。1。1 几何凸函数的Jensen型不等式

定理1 （Jensen型不等式）  设 为区间[ ]上的几何下凸函数，满足条件：

   ，其中 ，则有

若 为区间[ ]上的几何上凸函数，则（3。2）中不等号反向。

证明（用数学归纳法）

当 时，根据几何下凸函数定义知， ， ，有  ，所以 =2时不等式成立。