摘   要泰勒公式是微积分学中最基本的内容之一，它主要是体现了“逼近法”的精髓，用多项式函数来近似地表示已知的函数。本文介绍了泰勒公式的演变历程以及四种带有不同余项的泰勒公式：拉格朗日余项、佩亚诺余项、积分余项与柯西余项。同时，泰勒公式的应用十分广泛，本文着重论述了泰勒公式(带有佩亚诺余项和拉格朗日余项)在求极限、近似计算、求高阶导数和导数等式证明、不等式证明（导数不等式、积分不等式以及代数不等式），级数和反常积分敛散性以及行列式计算六个方面的应用。 最终我得出以下结论：泰勒公式是数学中具有十分重要的内容，它不仅在理论研究中有着很高的地位，而且在应用中也十分广泛和基础，是研究各数学领域中某些问题的有力工具。88383

毕业论文关键词：泰勒公式； 极限； 近似计算； 高阶导数； 不等式； 敛散性

Abstract Taylor formula is one of the most basic aspects of calculus。 It mainly embodies the essence of the "approximation method"。 It uses a polynomial to approximate a known function。 The article introduces the evolution of the Taylor formula and the four Taylor formulas with different residues: Lagrange residual items, Peano residual items, Integral residual item and Cauchy residual items。 Meantime, Taylor formula is widely used。 This paper focuses on the application of Taylor formula with the Peano and the Lagrange residual items in seeking the limit, the approximate calculation, the higher order derivative and the derivative equation proof, the inequality proof (derivative inequality, integral inequality and algebraic inequality), the series and the anomalous integral convergence as well as determinant calculations。 Finally, I come to the following conclusion: Taylor formula is a very important content in mathematics。 It not only in the theoretical research has a high status, but also is very broad and basic in the application。 It is a powerful tool to study all areas of mathematics。

Keywords: Taylor formula; limit; approximate calculation; higher order derivative; inequality proof; convergence 

目录

摘   要 i

Abstract ii

0 引言 1

1 泰勒公式 1

1。1 泰勒公式的演变 1

1。2 泰勒公式的几种形式 2

1。2。1 带拉格朗日余项源Y于Y优E尔Y论L文W网wwW.yOueRw.com 原文+QQ752018.766 的泰勒公式 2

1。2。2 带佩亚诺余项的泰勒公式 2

1。2。3 带有积分型余项的泰勒公式 2

1。2。4 带有柯西型余项的泰勒公式 3

1。3 函数在x=0处的泰勒公式（麦克劳林公式） 3

1。4 常见的基本初等函数在x=0处的泰勒公式 3

2 泰勒公式的几点应用 4

2。1 利用泰勒公式求极限 4

2。2 利用泰勒公式求近似值 5

2。3 利用泰勒公式求解导数问题 7

2。3。1  高阶导数的计算 7

2。3。2  证明与高阶导数有关的命题