5。2 方程思想： 23

5。3 分类讨论思想： 24

5。4 数形结合思想： 26

1 一元二次方程的历史背景

一元二次方程（quadratic equation of one variable）的定义：只含有一种未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程， 以  作为一般形式。

大约在公元两千年前，在古巴比伦人的《泥板石书》里就涉及了一元二次方程以及解法，具体表述为：已知一个数 与它的倒数 的和的值为 a ,即 ， ，使得 ，进而求出这个数 。由此能够看出古巴比伦人曾经理解了一元二次方程的求根形式，之所以没有提及负根是因为他们当时还不接受负数。之后陆续在古埃及、古希腊都有涉及一元二次方程的讨论。直到公元825年阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在其所著的代数书中，初次得出一元二次方程 的求根公式为 。在十六世纪意大利，数学家们开始应用复数根，法国数学家韦达(1540－1603)已经研究出一元二次方程在复数范围内必定有解，并且发现了根与系数的关系。From优Y尔E论W文W网wWw.YouERw.com 加QQ75201,8766

值得一提的是，早在公元前480年，我国数学家在《九章算术》中，就有 类型的一元二次方程问题。“今有邑方不知大小,各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问:邑方几何？”书中表达出的解法是：“以出北门的步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数，为从法。开方除之，即邑方。”

用数学语言讲就是 。求得 。这差不多就是求根公式 ，也是我国解一元二次方程的初始办法。在此之后，我国数学家赵君卿、一行、杨辉、朱世杰等人对一元二次方程求根公式都有所贡献。

2 一元二次方程的解法

一元二次方程常见的解法有最简单的直接开平方法、配方法以及公式法和因式分解法。

2。1 直接开平方法：

这种方法就是利用直接开平方去解一元二次方程。它只能用于类似于 的求解。解为： 

例题：

分析：这题明显是用最简单直接开平方法。

分析：我们把 看成是一个数 ，这个题目就可以看成 ，进而求解

总结： 应用直接开平方法求解时要注意，在 里， 时，方程就有2个解，切勿遗漏。

2。2 配方法：

将方程恒等变形化为完全平方式，再利用直接开平方法求解。理论依据为完全开平方法 。

2。2。1 一般步骤：

（1）先把方程化成一般形式，即 

（2）再在方程两边同时除以二次项的系数a ,使方程二次项的系数变成1，并把常数项移到方程的右边去。

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，即 

（4）把方程左边化成完全平方式，右边化成一个常数

（5）使用直接开平方法求出方程的解。

例题：论文网

分析：配方法虽然不是最好用的方法，但是里面包含的数学思想很重要。

② 解： 解： 

分析：遇到这种题型无论是用配方法还是公式法都要先把题目中的完全平方式拆开再合并同类项到一般形式再求解。

总结：利用配方法求解时可能会遇到方程左边配平后右边常数项是负数的情况，这就表明方程在实数的范围内无解。