摘要：Taylor公式是学生在学习高等数学内容时的重要工具，它作为微积分部分的重要内容，在极限计算和估计误差等方面有着得天独厚的优势。它集中体现了微积分中“逼近法”的精华,因此其在近似计算方面有着自己独特的优势。在解题过程中,我们能够利用Taylor公式将复杂数学问题简单化，将一些非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。目前随着数学的深入发展，Taylor公式在数学解题中的应用越来越广泛。为了拓展和总结Taylor公式的应用性，本文从其历史发展来深入研究，研究了其佩亚诺型余项、源Q于D优G尔X论V文Y网wwW.yOueRw.com 原文+QQ75201`8766 拉格朗日型余项和带有积分余项的泰勒公式 并将泰勒公式的一系列理论方法拓展到判断函数拐点中的应用、在函数凹凸性判断中的应、在函数极值中的应用、在广义积分的敛散性中的的应用、在近似计算中的应用、在判断级数收敛性的应用、在行列式求值中的应用不等式中的应用中。88712

毕业论文关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项；积分余项；解题应用

1。问题提出

    Taylor公式是学生在学习高等数学内容时的重要工具，它作为微积分部分的重要内容，在极限计算和估计误差等方面有着得天独厚的优势。Taylor公式集中体现了微积分中“逼近法”的精髓，其在近似计算方面有着自己独特的优势。在解题过程中，我们能够利用Taylor公式将复杂数学问题简单化，将一些非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。目前随着数学的深入发展，Taylor公式在数学解题中的应用越来越广泛。为了拓展和总结Taylor公式的应用性，我们需要从其历史发展来深入研究。

1。1 泰勒公式的研究背景 论文网

    泰勒是英国著名的数学家，在其著作《正和反的增量方法一书》中首先提出了著名的泰勒定理。之后，拉格朗日又再次强调了此公式的重要性，并将其称为微积分学的基本定理，但由于当时泰勒并没有详细考虑级数的收敛性，所以对其的证明并不十分严谨，之后十九世纪二十年代才由柯西完成所有的工作。

随着近代微积分这个数学分支的不断蓬勃发展，终于在十七世纪中叶，极限作为数学中单独一个概念被明确地提了出来。但由于当时对该部分内容的认识有限，最初提出的极限概念也常常是含糊不清的，甚至许多相关理论难以自圆其说，其中个别还自相矛盾，所以不够严谨的极限理论导致数学发展中短暂地出现了混乱的局面。直到十九世纪，数学家贝尔纳·波尔查诺给出严格的极限定义之后，这一混乱的局面才有改善。十九世纪二十年代，法国著名数学家柯西再次深度研究了极限定义，试图将其定义严谨化并拓展运用。柯西最终创造性地运用极限理论将微积分学中的定理加以严格的全面的证明，但在柯西的极限定义中运用了一些描述性的语言：“无限的趋近”、“随意小”。而这些词汇，使得微积分计算不够精确。德国数学家魏尔斯特拉斯先生针对柯西定义的不精确方法又进行的修正，给出了精确的“ ”方法，使该问题获得了圆满的解决。直到这时，完整的一系列极限理论才最终确定下来。 From优T尔K论M文L网wWw.YouERw.com 加QQ75201^8766

随着近代数学的不断发展壮大，微积分这部分的数学分支也不断的壮大和完善。许多数学大师都热衷于进行微积分具体内容的研究，比如泰勒、笛卡尔、费马等，都在这领域做出了杰出的贡献。其中最重要的莫过于泰勒，他将函数展开成级数，利用若干项该函数在某点导数式的连加式来表示该函数。即对于一般[1]函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数，由这些导数构成一个 次多项式：