例 1。求函数 f xx3 3x2 9x 在 x 2,2上的最大值和最小值。

解： f x3x2 6x 9 3x 3x 1，可得当 x 2,1时，函数单调递增；当

x 1,2时，函数单调递减；又有 f 22 ， f 15 ， f 222 ，故有

f xmax 5 ， f xmin 22 。 小结：该题成功地利用该函数的导数来对它的单调性做了判断，从而在给定区间上求得

了该函数的最大值和最小值。

例 2。（2014 课标 ）设函数 f xaex ln x be

x1

，曲线 y f x在点 1, f 1处

x

的切线方程为 y ex 12 。

（1）求 a ， b ；

（2）证明： f x1。

解：（1）函数 f x的定义域为 0,， f xaex ln x a ex b

x x2

ex1 b ex1 。

x

由题意得 f 12 ， f 1e 。故有 a 1， b 2 。

（2）证明：由（1）知，f x  exln x  2 ex1 ，从而有 f x  1等价于 x ln x  xe x 2 。

x

 1 

e

1 

设函数 gxx ln x ，则 gx1ln x 。所以当 x 0,

时，gx0 ；当 x 

,

 e  e 

 1  1 

时，gx0 。故 gx在 0,

上单调递减，在 

,上单调递增，从而 gx在 0,

 e  e 

上的最小值为 g1 1 。



  

e  e

设函数 hxxex 2 ， 则 hxex 1x。 所以当 x 0,1时， hx0 ； 当

e

x  1, 时，hx  0 。故 hx在 0,1上单调，在 1,上单调递减，从而 hx在 0,

上的最大值为 h11 。综上，当 x 0 时， gxhx，即 f x1。

e

小 结 ： 在 第 二 小 问 当 中 ， 我 们 将 所 要 求 的 不 等 式

f x1 利 用 恒 等 变 形 转 换 为文献综述

x ln x xex 2 ，接着，我们通过构造函数 gxx ln x ， hxxex 2 ，将所要求的

e e

不等式转换为 gxmin hxmax ，对于 gx和 hx这两个函数，这两个函数的导数能够较 为容易地判断正负，所以，我们可以较为容易地判断出这两个函数的最大值和最小值。

例 3。（2012 北京）已知函数 f xax2 1(a 0) ， gxx3 bx 。

（1）若曲线 y f x与曲线 y gx在它们的交点 1, c处具有公共切线，求 a ， b 的 值；