考虑到不等式的证明一般情况下是比较困难的，以上提到的几种常规的不等式的证明方法尚且具有很强的技巧性，因此，构造函数来证明不等式这一方法会有更大的挑战性---不单是对证明者对不等式证明的基础方法的考验，更是对其灵活运用函数性质的能力的考察。

掌握构造函数的方法来证明不等式对我们提高解决问题的效率有着重要的意义。那么，当拿到一个不熟悉的不等式证明题，我们如何才能快速地构造出比较适合的辅助函数呢？这里面是有一定的技巧性和规律是可循的。

本文就以上问题，首先会对几种基本的辅助函数的构造方法进行相对系统的阐述，其中包括:

1。构造函数利用判别式证明不等式；

2。构造函数利用单调性证明不等式；

3。构造函数利用奇偶性证明不等式；

4。构造函数利用凹凸性证明不等式；

5。构造函数利用中值定理证明不等式。

为了不使得证明过程显得空洞，我特意加入一些不等式证明的具体例子加以辅助分析论证，并且在证明过程中以上提到的常规的不等式的证明方法也会广泛得到应用，这样便于读者更好地理解这篇文章的精髓。

正文

构造函数利用判别式证明不等式

在含有两个或以上字母的不等式中，若使用常规的方法不能解决的时候，可通过移项的方法将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时候可以考虑用二次函数的判别式的方法来证明不等式。在这小结上，我概括出了两种方法——正用判别式的方法和逆用判别式的方法，并概括出了何时正用以及何时逆用。

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一般对与二次函数有关或者通过转化能变为二次函数的不等式问题，可考虑正用判别式的方法，使用的时候要注意根的取值范围、主元的选取以及题目本身的条件限制。

下面我就由浅入深，一步一步地以例子的形式给出说明。先来看下面几个简单的例子：

example1。设多项式ax^2+bx+c有两个不同的实数根，求证：行列式

R(f,f^' )=|■(■(a@2a)&■(■(b&c)@■(b&0))@0&■(2a&b))|≠0

将行列式展开得

R(f,f^' )=-a(b^2-4ac)

构造辅助函数

f(x)=ax^2+bx+c

由题意知：

a≠0；b^2-4ac>0

所以有

R(f,f^' )≠0

事实上，这里的R(f,f^' )表示的是多项式f(x)，f^' (x)的结式 。且结式和判别式之间应该有这样一种关系：

R(f,f^' )=(-1)^(n (n-1)/2) a_0 D

其中D表示f(x)的判别式，a_0表示多项式f(x)的最高次项系数。

example2。设a,b,c ϵR,证明：

a^2+ac+c^2+3ab+c^2+3b^2+3bc≥0

构造新的函数（把待证明的不等式看成关于a的二次函数）

f(a)=a^2+(3b+c)a+c^2+3b^2+3bc

由判别式

Δ=(3b+c)^2-4(c^2+3b^2+3bc)=-〖3(b+c)〗^2≤0

对任意的b,c ∈R 恒成立可知：

a^2+(3b+c)a+c^2+3b^2+3bc≥0

像这样一个同时含有多个字母的多项式不等式证明问题，主元的思想应该首先想到。在此建议读者把b看成主元，得到的结果和上例把a看成主元的结果应该是一样的。接下来我们来证明一个含有n元的不等式。

example3。证明柯西定理

(〖a_1〗^2+〖a_2〗^2+⋯⋯〖a_n〗^2)(〖b_1〗^2+〖b_2〗^2+⋯⋯〖b_n〗^2)≥(a_1 b_1+a_2 b_2+⋯⋯a_n b_n )^2

(∑_(i=1；j=1)^n▒〖a_i a_j≠0〗)

构造函数

f(a)=〖(a_1 x+b_1)〗^2+〖(a_2 x+b_2)〗^2+⋯⋯〖(a_n x+b_n)〗^2