2 积分不等式的提出

自高斯（C。 F。 Gauss）、柯西（A 。L。 Cauchy）时代发展起来的不等式理论，在数学 中占有重要的地位，本文主要讨论不等式中的积分不等式一支。

齐次变系数线性微分方程组

X'  = A t X  a   = XO

其中 X 是 n 维向量，A(t)是[α,β]上的 n × n 阶连续的矩阵函数。

在求出显示解非常困难的情况下，知道解的界是很有意义的，为此，我们可以得到

这就是我们常见的积分不等式的最基本的形式。

1919 年 Gronwall 通过研究下面的积分不等式

t

0  u(t)  a [bu(s)  a]ds, t [a, b]

( a, b 为非负常数) (1)

得到了下面的引理：论文网

引理 1 若 u 是区间[α,α + h]上的连续函数，且满足（1）式，那么就有

0 u(t) ahebh , t [,]

随后，Bellman 在 1943 年研究了不等式

t

u  t   Ç c + fα ƒ h  uth) dh  ,  t C α,þ tt)

得到了如下引理

引理 2 假设 u 和 f 是区间 α,þ 上的连续非负函数，令 c 是非负常数，则由（2）式， 可以得出

由于fα adh Ç a晦

。Bellman 的结果包含了 Gronwall 的结果。这种类型的积分不等式就被称

为 Gronwall-Bellman 不等式。

3 几类重要不等式的积分形式及其等价性

3。1 几个重要不等式的积分形式

积分不等式是含有未知函数积分的不等式，一般用于联系两个及以上的定积分不等式， 它在研究许多微分方程和积分方程解的存在性、唯一性与稳定性方面有着非常重要的作 用。

下文列举几个重要不等式的积分形式文献综述

t‸) d‸ X O,其中τ（x)是[a, b] 上任一个正值连续函数；

（2） 平均值不等式的积分形式。若 f (x) 是[a, b] 上的正直连续函数，则

这里 f (x) 与 p(x) 均为[a, b] 上的正值连续函数，r X O,则 G f Ç A f ,G f Ç Mr ƒ ;

(3) Cauchy 不等式的积分形式。若 f (x) 与 g(x) 在[a, b] 上连续，则

(4)切比雪夫不等式的积分形式。设 p(x) 在[a, b] 上恒正并连续， f (x) 与 g(x) 在[a, b] 上同时递增或同时递减，则

(5)Helder 不等式的积分形式 。设 f(x)与 g(x)在[a ,b]上恒正且连续，r、r'为一对

共轭正数，即1 + 1  = 1   ,则

(6)利雅普诺夫不等式的积分形式。设 f (x) 在[a, b] 上正值连续，且 O < r < s < t , 其

中 r, s, t 均为正常数，则