引出矛盾。所以方程 的根是唯一的。

定理2  设 满足定理1中的两个条件，则对任意 ，由式（2。3）得到的迭代序列 收敛到 ，并有如下误差估计

证明:下面来证估计式(2。4),(2。5)。因为

所以有估计式(2。4)和(2。5)成立。由估计式（2。5）可知收敛性成立。

很明显，如果定理（2。4）的条件（2。5）变为 在 上可导，且存在正数L<1，使对任意 ，有 ；则定理1及定理2仍然成立。

由定理2，有如下三点注记：

（1）L越小， 收敛越快，反之收敛越慢。

（2）由定理（2）的估计式可知，在实际计算时可以利用相邻两次计算结果差的绝对值小于给定的精度作为迭代终止的标准。

（3）利用估计式（2）可以事先确定使误差达到给定精度 所需的迭代次数k。即当 ，则取 。

4 牛顿迭代法

4。1。牛顿法的构造 文献综述

     牛顿迭代法在本质上是一种线性化方法，它的基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。

     设 是 的一个近似根，将函数 在 （假定 ）处作一阶Taylor展开，有

于是方程 可近似地表示为    （4-1）

这是一个线性方程，其根记为 ，则计算公式为这就是牛顿迭代公式。

4。2。牛顿法的几何解释 

     直线 是曲线 在点 处的切线，迭代格式（4-2）就是此切线与 轴交点的横坐标，所以牛顿法就是用切线与 轴交点的坐标近似代替曲线 与 轴交点的坐标，所以牛顿法也称切线法。

4。3。牛顿法的收敛性及收敛阶