摘要：矩阵是处理高等代数问题中的常用工具。 作为一类重要的矩阵，正定矩阵在计算数学、数学物理、控制论等领域有着广泛的应用。 本文在介绍了正定矩阵的定义、性质的基础上，归纳总结了正定矩阵的若干判定方法，并给出一些简单应用。 90617

毕业论文关键词：二次型，正定矩阵，特征值

Abstract：Matrix is a tool which is often used in dealing with higher algebra problems。 As a class of important matrix, positive definite matrices are widely used in computational mathematics, mathematical physics, cybernetics and other fields。 On the basis of introducing the definition and properties of positive definite matrices, some methods of determining positive definite matrices were summarized in this paper, and some simple applications were given。

Keywords: quadratic form, positive definite matrix, characteristic value

目   录

1  前言 4

2  正定矩阵的定义和性质 4 

2。1 正定矩阵的定义 4

2。2 正定矩阵的性质 4

3  正定矩阵的判定方法 7

4。正定矩阵的一些简单应用 10

4。1利用矩阵正定性解决多元函数的极值问题 10

4。2利用矩阵正定性解决隐函数的极值问题 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 前言

矩阵在高等代数中占据着十分重要的地位，是在处理高等代数问题中经常运用的工具。而正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中。 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便。 正定矩阵不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等中都得到了广泛的应用。 因而对于一般 阶矩阵的正定性的研究很有意义。  本文将在介绍了正定矩阵的定义、性质的基础上，归纳总结正定矩阵的若干判定方法，并给出一些简单应用。 

2 正定矩阵的定义和性质

2。1 正定矩阵的定义

定义1[1]  设 为 阶实对称矩阵，若实在二次型 为正定二次型，则称 为正定矩阵。

注 用定义证明矩阵正定性需要注意两点：                                           

2。2 正定矩阵的性质文献综述

性质1 若实对称矩阵 正定，且 合同，则 也正定。

性质2 若实对称矩阵 正定，则 。 

性质3 若实对称矩阵 正定， 且 则 和 也正定。

证明  因为 为正定矩阵，所以 都为实对称矩阵，则有

所以 , 均为实对称矩阵。再由 为正定矩阵知，对于任意的 从而

根据正定矩阵定义知， 和 为正定矩阵。

性质4 若实对称矩阵 正定，则  也是正定矩阵（其中 表示 的伴随矩阵）。

证明 由 是正定矩阵，则有 

从而A是可逆的。 有再由 是正定矩阵得故 是正定矩阵。

    又 ，故由性质3知， 也是正定矩阵。

例1 若 都是 阶实对称矩阵，且 是正定矩阵。 证明存在一 阶实可逆矩阵