证 不妨设

f(a)0,f(b)0。将a,b二等分，分点记为c，若f(c)0，则取c

0 0 0

即成；若f(c0)0，当f(c0)0时，取a,c0a1,b1，反之取c0,ba1,b1，这就保证了

f(a1)0,f(b1)0。

再将a1,b1二等分，分点记为c1，若f(c1)0，则取c1即成；若f(c1)0，当f(c1)0时，取a1,c1a2,b2，否则取c1,b1a2,b2，这时有

f(a2)0,f(b2)0

如此继续下去，要么到某一步时，获得一个分点cn，使f(cn)0，取cn即成；要么到这步骤可以无限地进行下去，从而获得一区间序列an,bn，满足：

根据区间套定理，存在an,bn，且limanlimbn。再由（3）及函数的连续性，得

f()limf(a)0,f()limf(b)0。从而有f()0。证毕。来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

这个定理的证明基于区间a，b是连续的，因此每次二等分区间时，分点总在a，b

区间内。

2。2 构造数列

定理[3]：函数f(x)

当xx0

时依柯西的定义收敛与海涅的定义收敛是等价的。换言

之，当xx

值是一样的。

时柯西的定义等价于海涅的定义，且反之亦然，同时，在两种情况下极限的

证明：1。设依柯西的定义存在limf(x)。我们来证依海涅的定义存在相应的极限。

实际上，根据条件我们有

设x是任意的一个这样的数列，当n

时xx

且对于一切n。那么对于任意

的0，存在N1N1()使得对于一切nN1

0xnx0。论文网

由于δ可以任取，所以对于（）成立同样的论断。

应该证明，对于任给的0，存在N()使得

nN()有f(xn)l。

置N()N1(())。那么根据0xnx0

()，有

f(xn)l，

2。现在来证反方向的论断。设对于任何满足条件xnx0，xnx0的数列xn都有当

n时，f(x)l。

下面用反证法。设l不是函数ƒx依柯西定义的极限。这表明，存在0使得

f(xn)l且不等式成立。

考察数列

1。那么对于任何n都存在数x使得：；3）f(xn)l。诸数xn组成一个收敛到x0的数列，因此，根据依海

n

涅定义的收敛性，当n时有limf(x)l。那样的话，在不等式

f(xn)l中取极限，我们得到0ll。所得的矛盾建立了定理的第二个断言的真确性。

证毕。例1 证明：设给定一个数列an，使得数列

bnpanqan1,n1,2,。

收敛。如果pq，试证an收敛。

证明 由于pq，故pq0,q0。设注意 limnlim(bnb)/q0，由“

”型Stolz定理有这样我们不仅证明了an极限的存在，而且将liman计算出来了。文献综述

n

2。3 构造反例或特例

学习数学分析的过程是一个不断引出和解决问题的过程，解决问题则通常是给出证明