摘  要: 本文将介绍微分方程的稳定性与平衡点,并研究其在数学建模中的应用,利用微分方程的平衡点与稳定性,去分析、解决建模中的一些问题。

毕业论文关键词: 微分方程;稳定性;平衡点;数学模型91004

Abstract: In this paper, we will introduce the stability and equilibrium of differential equations, and study their applications in mathematical modeling。 By using the equilibrium point and stability of differential equations, we can solve some problems in modeling。

Keywords:first-order differential equations;  stability;equilibrium solution; mathematical model-ing models。 

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

2。1  一阶微分方程的平衡点及其稳定性 4

2。2  二阶微分方程的平衡点及其稳定性 5

3 捕鱼业的持续收获模型 7

3。1产量模型 7

3。2效益模型 9

3。3捕捞过度 9

4 军备竞赛模型 10

4。1模型假设与构成 10

4。2模型的定性解释 11

4。3模型参数的估计 11

4。4对模型和参数的检验 12

结论 14

参 考 文 献 15

致  谢 16

1 引言

了解常微分方程的平衡点和稳定性是微分方程稳定性理论中最基本的内容之一。稳定性理论的内容已被广泛应用于许多实际问题中。虽然建立了微分方程的动力学模型，但它通常是必要的描述一些变化的动态过程，然而对于生活中的一些实际的问题，我们建立的稳定性模型的主要目的不是要解决每个瞬时的动态过程，所以建模的主要目的是稳态特性的一些重要意义，当动态变化的趋势在足够长的时间内变化后。例如：描述过程的变量是什么?么样条件下时候会越来越靠近某些确定的数值：同样的，在什么样的条件下又会越来越偏离这些确定的数值从而导致的动态过程不稳定。

在分析上述两个稳定和不稳定的法律，我们往往不需要找到微分方程的解，实际上我们也会遇到一些不复杂的方程，方程的解析式不能总是得到，所以我们可以利用微分方程的稳定性理论直接研究方程的平衡态的稳定性。

2 预备知识

2。1  一阶微分方程的平衡点及其稳定性

设有微分方程       （2-1）来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

方程的右端不显含自变量 ，称之为自治方程[1]。代数方程

实根  方程（2-1）的平衡点（或奇点）。同时  方程（2-1）的解（奇解）

假如存在某个领域，使方程（2-1）的解 从这个领域的某个 出发，满足

平衡点 是稳定的（渐近稳定）；否则 不稳定（不渐近稳定）。

    平衡点是否稳定通常有两种判断的方法。

(1)间接法：利用定义，需要求出方程的解 ，即（2-3）式

(2直接法：不利用（2-3）式的方法 ，即不求方程的解 方程(2-1)       

下面介绍直接法