          在 处作泰勒展开的点，只取一次项，方程（2-1）近似为

（2-4）称为（2-1）的近似线性方程[2]， 也是（2-4）的平衡点，关于 点稳定性结论如下：

     若 ，则称 对于（2-4）和（2-1）都是稳定的。

     若 ，则称 对于（2-4）和（2-1）都是不稳定的。

（事实上，若记 则（2-4）的一般是  （2-5） 

显然，当 时，（2-3）式成立。）

2。2  二阶微分方程的平衡点及其稳定性

二阶方程可用两个一阶方程表为   （2-6）

方程组右端不显含 ，为自治方程[3]。代数方程组

   的实根 ， 称为方程(2-6)的平衡点、记作 。

   若从 的某领域的任一初值出发，都有平衡点 是稳定的（渐近稳定）；否则，称 是不稳定的（不渐近稳定）。

为了用直接法讨论（2-6）中的平衡点的稳定性，首先考虑了线性常系数方程[4]

系数矩阵记作          （2-10）

为了研究方程（2-9）唯一平衡点 的稳定性，假定A的行列式

 的稳定性由（2-9）的特征方程   （2-12）

的根 （特征根）决定。方程（2-12）可以写成更加明晰的形式 

的特征根记为  ，所以 方程（2-9）的一般解具有形式， 为任意常数。

根据稳定性的定义（2-8）式可知道：论文网

①当 ， 都为负数或都有负实部时， 是稳定平稳点；

②当 ， 有一个为正数或有正实部时， 是不稳定的平衡点。因为 的条件下 ， 不可能为零。

下表给出了平衡点 的类型的稳定性：

表1    由特征方程决定的平衡点类型和稳定性

 ， 

       ，             平衡点类型            稳定性

        稳定结点              稳定

        不稳定结点            不稳定

                    鞍点                  不稳定

        稳定退化结点          稳定

        不稳定退化结点        不稳定

        稳定焦点              稳定

        不稳定焦点            不稳定

               中心                  不稳定

总结：根据特征方程的系数 ， 的正负号可以用来判断平衡点的稳定性：

①  平衡点稳定；

② 或  平衡点不稳定。

3 捕鱼业的持续收获模型

背景1。再生资源（渔业，林业等）与非再生资源（矿业等）。

        2。再生资源要注意适度开发——在持续稳产的前提下实现最大产量或最佳效益。

问题及分析1。在稳定捕捞的条件下，如何控制捕捞才能效益最大化或有利于产量?                           

               2。如果捕捞量等于自然生长量,渔场的鱼量将保持不变，捕捞量将趋于稳定。

3。1产量模型   

记时刻 渔场中的鱼类数量为 ，关于自然增长和人工捕鱼的假设如下：