摘要: 主要讨论和总结利用柯西收敛准则解题的规律。通过对例题的分析与解决， 探讨和总结了利用柯西收敛准则解题的几种方法和应用规律。

毕业论文关键词: 柯西收敛准则，单调有界定理，确界原理，收敛。91254

Abstract : It mainly discusses and summarizes the rules of solving problems by using the Cauchy's convergence test。Through the analysis and solution of the examples, the methods and rules of solving the problems by using the Cauchy's convergence test are shown。

Key words : Cauchy's convergence test, monotone convergence theorem, supremum and infimum principle, convergent。

目 录

1 引言 4

2 利用柯西收敛准则解题的一般规律 4

2。1 找一个具有某种性质的 P 的点 4

2。2 证明 a,b 具有某种整体性质 P 4

3。利用柯西收敛准则证明有关重要定理 5

3。1 利用柯西收敛准则证明单调有界定理 5

3。2 利用柯西收敛准则证明聚点定理 5

3。3 利用柯西收敛准则证明确界原理 6

3。4 利用柯西收敛准则证明有限覆盖定理 7

3。5 应用柯西收敛准则证明区间套理 7

3。6 应用柯西收敛准则证明一致连续性理 8

4 利用柯西收敛准则证明其它问题 8

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1 引言来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

柯西收敛准则是数学分析中实数完备性中的一个重要定理, 是用来判断某 个式子是否收敛的充要条件，运用它可以证明实数完备性中的其他定理。本文将 以柯西收敛准则为出发点，观察分析应利用它证明实数完备性中重要定理以及证 明数列，数项级数，函数列，函数项级数收敛的过程，从而总结出利用柯西收敛 准则解题的规律。为了利用柯西收敛准则解题，首先我们要知道柯西数列的概念以及柯西收敛准则：如果数列 an   满足条件：对任意s > 0 总存在一个自然数 N，使得当 n,h > N

时，有 ah — an € s成立,则称 an 为柯西数列。柯西数列反应了这样的事实：收敛数列的值越到后面彼此越接近，以致充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数，或者形象的说收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一 起即足够靠后的任意两项都无限接近。

定理 （柯西收敛准则） 1 

数列 xn收敛的充要条件是: xn为柯西数列。

我们再介绍一下实数的阿基米德性质,对任意两个实数 a,h，若 h > a > 0，

则存在一个正整数 N,使得Na  > h,在后面的证明中会用到。

2 利用柯西收敛准则解题的一般规律论文网

(利用柯西收敛准则解题时可从下面两方面入手)

2。1 找一个具有某种性质的 P 的点 2

(1)设想所求点是极限点,由性质 P 构造数列 xn  ;

(2)证明数列 xn 是柯西数列; (3)由柯西收敛准则得lim xn  =  c；n‹t

(4)证明 c 具有性质 P;

2。2 证明 a,t 具有某种整体性质 P2