文中将给出不等式（1）的一个新的改进，以及有关谐波凸函数与不等式（2。1）的一些推广与应用。

    定义1[1] 若 则称 和 关于区间 的中点对称。文献综述

    引理1[1] 设 为一区间，则称 和 关于区间 的中点对称的必要充分条件是存在 ，使得 和 。

    定理1[1] 设 是凸函数，则函数

 在 上是增函数。

   引理2 [1]设 且 ，则存在 使得

   定理2 [2] 设 则存在 使得

   推论1[2]  设 则对 存在  使得

   定理3[2]  设 为凸函数，则存在 ，使得  ，有下列不等式成立：

  我们给出一个具体例子对中值定理在Hermite-Hadamard不等式，上的应用加以说明：

   例 1：设 ，定义如下：