文中将给出不等式(1)的一个新的改进,以及有关谐波凸函数与不等式(2。1)的一些推广与应用。

    定义1[1] 若 则称 和 关于区间 的中点对称。文献综述

    引理1[1] 设 为一区间,则称 和 关于区间 的中点对称的必要充分条件是存在 ,使得 和 。

    定理1[1] 设 是凸函数,则函数

 在 上是增函数。

   引理2 [1]设 且 ,则存在 使得

   定理2 [2] 设 则存在 使得

   推论1[2]  设 则对 存在  使得

   定理3[2]  设 为凸函数,则存在 ,使得  ,有下列不等式成立:

  我们给出一个具体例子对中值定理在Hermite-Hadamard不等式,上的应用加以说明:

   例 1:设 ,定义如下:

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