定理2。1  (费马(Fermat)定理)  设函数 在 的某邻域内有定义,且在 可导,若点 为 的极值点,则必有

 。

　　注:满足 的点称为函数 的稳定点。于是定理2。1告诉我们： 为可导函数 的极值点的必要条件是 为 的稳定点．

3  罗尔定理及其应用  论文网

　　罗尔(Roole)是法国的一位数学家,他在数学上的成就主要在代数方面，罗尔专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年，在《任意次方程的一个解法的证明》中指出：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少会有一个根。在一百多年后，尤斯托将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。

3。1  罗尔中值定理

　　定理3。1  (罗尔(Roole)中值定理)  若函数 满足如下条件：

　　（1) 在闭区间 上连续；

　　(2) 在开区间 上可导；

　　(3) ，

则在 上至少存在一点 ，使得

 。

　　注:其中的 不是唯一的。

　　罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，若曲线的两端点的高度相等，则至少存在一条水平的切线．

3。2  罗尔中值定理的应用文献综述

　　例1  设 为多项式函数．证明方程 没有实根，则方程 至多有一个实根．

　　证明：用反证法．设 和 为 的两个实根，即 ．不妨设 ，由于 在 上连续且可导，故由定理3。1 ， ，使得 ，与假设 没有实根矛盾．故 至多有一个实根．

４  拉格朗日中值定理及其应用

　　拉格朗日（Lagrange）是法国著名数学家，1797年，他就在其著作《解析函数论》中提出了该定理,并进行了初步验证,因此我们将它命名为拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理，是微分中值定理的基本定理之一，是罗尔中值定理的推广，也是柯西中值定理的一种特殊的情形．

4。1  拉格朗日中值定理

　　定理4。1[1]  （拉格朗日中值定理）若函数 满足如下条件：

　　(1) 在闭区间 上连续；

　　(2) 在开区间 上可导，

则在 上至少存在一点 ，使得

显然，特别的，当 时，此定理的结论就是罗尔定理的结论．这就表明罗尔定理是拉格朗日定理的一种特殊情形．

　　拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理的条件的曲线 上，至少存在一个点 ，使得该曲线在此点处的切线平行于曲线两端点的连线AB．

　　注:和罗尔定理一样,其中的 不是唯一的。