摘要 单调有界准则是极限理论中非常重要的一个定理，它在数列极限中有非常广泛的应用。本文通过对单调有界数列的概念、性质与方法的分析，根据不同求数列极限问题的特点，找出利用单调有界准则解题的一般规律与技巧,并加以应用,使得数列求极限问题得以简化。92619

毕业论文关键词 单调有界准则，数列，极限

Abstract Monotone bounded theorem is a significant theorem in the theory of limit,which has extensive application in the limit of series。In this article, based on the analysis of the concept, properties and methods of monotone bounded, and according to the characteristics of different limit problems, we find out the general rules and skills of solving problems by using monotone bounded criterion。

Keywords monotone bounded,series,limit

目  录

1引言。4

2单调有界准则简介及应用的一般步骤。4

 2。1单调有界准则的内容与证明5

 2。2应用单调有界准则的一般步骤5

3单调性的证明。5

 3。1数学归纳法5

 3。2差值法6

 3。3比值法6

 3。4导数法7

 3。5利用有界性证明7

4有界性的证明。8

 4。1数学归纳法8

 4。2递推公式法9

 4。3不等式法9

 4。4利用单调性证明。10

结论。11

参考文献。12

致谢。13

1引言

极限理论是高等数学的基础和首要的教学内容。极限理论所研究的是变量在其变化过程中的趋势问题,求极限固然要以有关的概念、定理和公式为依据,但最关键的是要掌握一些主要的方法和技巧,才能把定理和公式用活。在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。在实际应用中,解决了数列｛ ｝存在性问题之后,即使极限值的计算较为困难,但由于当n充分大时, 能充分接近其极限 。为了确定某个数列是否存在极限,当然不可能将每个实数依据定义一一验证,根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本论文主要讨论极限的存在性问题，在数学分析教材中，通常都把确界原理作为公理给出，以此公理作为理论基础，证明单调有界准则，用以判断数列极限存在性问题，再求出数列极限。

2单调有界准则简介及应用的一般步骤

2。1单调有界准则的内容与证明论文网

  单调有界准则  在实数系中，有界的单调数列必有极限。

  单调有界准则在实际应用中一般有以下两种情况：

（1）有下界的单调减数列必有极限;（2）有上界的单调增数列必有极限。

  证明 不妨设｛ ｝为有上界的递增数列。由确界原理,数列｛ ｝有上确界,记 ｛ ｝。下面证明 就是｛ ｝的极限。

  事实上,任给ε>0,按上确界的定义,存在数列｛ ｝中的某一项 ,使得 。又由｛ ｝的递增性,当 时,有

 。

  另一方面,由于 是｛ ｝的一个上界,故对一切 都有 。所以当 时,有

 ,

这就证得  。同理可证有下界的递减数列必有极限,且极限为它的下确界。

  通过以上对单调有界准则的证明,对单调有界准则有了一定的认识与了解。下面我们利用单调有界准则解题并找出一般步骤。

2。2应用单调有界准则的一般步骤