又因为 ≤ ≤ ， 所以 ≤ ²≤ ，则 ，所以向量 的长度的最大值为 。

评注 运用三角函数的有界性求向量模的最值是最常见的方法之一。

例2。1。3  (全国卷)已知  ⊥ ，满足 · ，求 的最大值。

解 由 · 得 ² · ，（其中 与 的夹角为 ），所以

 =     

所以 的最大值为 。

例2。1。4 已知  ⊥ ，满足 · ，求 的最大值。

解 通过建立直角坐标系，得出向量坐标，由向量 满足 · ，可得 · ，化为 ，因此向量 的起点为原点，终点在以 为圆心， 为半径的圆上，即可得出其最大值．

如图 所示，建立直角坐标系如图所示．

图 

因为 ⊥ ，所以设 ， ， 又因为向量 满足： · ，所以 · ．化为 。因此向量 的起点为原点，终点在 为圆心， 为半径的圆上．故 ．因此 的最大值为 ．

点评 熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算、圆的标准方程、数形结合结合思想等是解题的关键．