从定义上看函数 在点 处连续，是否等价于 在 的邻域内连续呢？或者说 的图象是不是在这个邻域上不间断呢？举一个例子，如函数 只在 连续；函数 仅在 两点连续，其中 为狄利克雷函数；又如函数

从这个函数的形式上看，显然可以得到这个函数在任意点上是连续的，但是我们却不能做到一笔画出这个函数在 的任意邻域内的图象。 上面的例子都说明了“连续”只是一个局部概念，不能只从字面上去理解“ 在 连续”。 只有函数当且仅当 在 的邻域 内每一点都连续，我们才能得到 在 的邻域内连续,但是如果在连续点 有 ，那么上述例外情况就不会发生了。 

若  在 连续，并且 ，则一定有 的某个邻域，使得 在此邻域内连续。 

事实上：因 在点 连续，即 ，都有     （2。3）                     

现对 ，由（2。3）显然有文献综述

又 ，当 充分小时，由局部保号性有 ，                       

即 ，从而有

从上面的证明中可以看出 在 连续，又因为 ，所以 在 的 邻域内连续。 

所以，函数的连续性是有局限的，它只反映了函数在区间上一点的领域上的局部性质。 

2。1。2 一致连续函数的整体性

如果函数 在某区间上连续，意思是 在这个区间上每一点都连续，而这里讨论的函数的一致连续性是指函数在这个区间上更强的连续性。 

定义2 。 设 为定义在区间 上的函数，若对 ， ， ，只要 ，就有