定理2  设 是一个整系数多项式，设  是 的一个有理根，其中 , 互素，那么必有 是 的因子， 是 的因子。

注  若 的首项系数为 ,则 的有理根都是整根，并且是 的因子。

定理3   设 是一个整系数多项式，设  是 的一个有理根，其中 , 互素，那么

    证明 因为  是 的一个有理根，因此有理根数域上          ，从而

 ,    因为 ，所以 为本原多项式。 

    根据推论 ， 等式中的 都是整数。

设 对比两边系数，得

因此 ，把  代入得，故             

定理4  若 是 的一个有理根则 。

定理5  若整系数多项式 各项系数之和为素数 ,则有理根  必满足         或 

定理6  若整系数多项式 的常数项 为奇数，而 为偶数，则  不是 的

根。 文献综述

证明 假设  是 的根 ,又 为奇数,故 必为奇数，与 为偶数矛盾，故  不是 的根。

    定理7   ，若 ， 都为奇数，且 至少有一个是奇数，那么 无有理根。

证明 假设 有有理根  ，由于上述定理得

 ， 

因为 ， 都为奇数，则 , 也是奇数，故 , 都是偶数，那么 都是偶数，与题意矛盾，所以 无有理根。

    定理8   ，且存在一个整数 ，使 ，那么 不是 的整数根。

    证明 假设 有整数根 ，那么有  是整系数多项式， 使得