定义2。3 对于函数 ，已知当自变量 大于某一正数时函数 都有意义，若存在某个常数 ，对任意给定的 ，总能找到正整数 ，使得对所有 的自变量，都满足 ，则称 是 在无穷远处的极限。

利用数列极限的定义来求出极限。设 为一个数列,若存在常数 ,使得对任意给定的  ,总能找到正整数 ，使得当 时,都有   成立，则称常数 是数列 的极限。记为 。

2。2  极限的性质[1]

为了求解函数极限，有必要对函数极限所具有的性质做进一步了解：

性质2。1 （极限的唯一性） 如果 存在，则极限必定唯一。

性质2。2 （极限的局部有界性） 若 存在，则 在 的某空心邻域内必定有界。

性质2。3（极限的保序性）若 与 且 ，那么  对  有 。

性质2。4（极限的迫敛性）设  且在某 内有  则 。

2。3  极限的求解

    极限是高等数学中的重要研究对象，对于数列和函数极限的最基本求解方法是利用数列和函数极限的定义进行求解的，然而每次都利用定义求解显然非常繁琐，难度较大，所以对于极限的求解也总结出了一些其他典型方法，比如利用极限性质，极限的四则运算法则，连续函数性质，借助两个重要极限，利用夹逼原理，利用泰勒展示，或者无穷小量代换，甚至使用经典的洛必达法则，还可以借助级数收敛的必要条件等，这些方法在数列和函数极限的计算中有着非常显著的效果。文献综述

2。3。1  利用极限定义和四则运算法则求解

极限定义 数学中的定义或者概念是数学的核心，也是许多定理和数学原理的基础，所以利用定义求解极限是最基础最本质的方法。

例2。1  证明   （1） 因此对任给的 ，只要 ，便有

 ，                             （2）即当 时，（2）式成立，又由于（1）式是在 的条件下成立的，故应取

                              （3）

证  任给 ，取 据分析，当n>N时有（2）式成立。于是本题得证。

利用数列极限定义求解时，为了便于确定 N ，还可根据题目需要对 n 做适当放大 ，对 做适当缩小 ，这里 是充分大的某自然数， 是充分小的某正数。

四则运算法则  如果 那么

   （1） ,其中 为常数；

特别地，若 存在，n为正整数，则 

利用函数极限的四则运算法则求解极限时，值得注意的是，在应用数列或者函数极限的四则运算法则时,首先要考虑表达式中的各个函数或者数列能否转化为多个函数或者数列的四则运算，并考虑是否符合极限四则运算法则；此外对于分式形式的表达式，还需要考虑分母极限不能为零，并且在约分过程中保证公因子是非零的；最后在等价转化中往往还会涉及到一些变形技巧或者特殊的处理方法，还需要平时的积累和总结。