即 引理2   若 在 上分段连续， 是它的傅里叶系数，则

的傅里叶系数（用 表示）为：

    引理3   设 都是以 为周期的且在 上按段光滑的函数，其中 的傅里叶系数是 ， 的傅里叶系数是 ，则 的傅里叶级数为                                   

即傅里叶系数为

证明思路  易由傅里叶系数公式求得 的傅里叶系数，代入傅里叶级数展开式即可。

引理4   （1）设 以 为周期，在 内有界，有

(Ⅰ)若 单调递减，则傅里叶系数 

(Ⅱ)若 单调递增，则 文献综述

（2）设 在 内 有界，有

(Ⅰ)若 单调递增，则傅里叶系数 

(Ⅱ)若 单调递减，则 

引理5   设 是以 为周期且在 上按段光滑的函数，那么函数 的傅里叶系数 分别是              的实部和虚部， 

引理5可由欧拉公式 在复数域上对（1）式进行计算得到。

3  傅里叶系数的性质

3。1  可导函数的傅里叶系数

假设 在 上 阶可导 的傅里叶系数为 ，那么根据引理1可得到 对应的傅里叶系数 的一般性质。

结论1   的傅里叶系数为