证明　假设 与 不平行，则设点 是直线 与直线 的交点, 

　　因为 (即 )、 (即 )，

　　所以过 有两条不同的直线与 平行，这与平行公理矛盾．

　　 所以 ．

图 1

　　2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．如：

　　例2　求证：已知 为自然数,形如 这种表示的数不能表示为两个整数的平方差． 

证明　假设有整数  使，即 来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

　　（1）当 同为奇数或同为偶数 时： 

得到 和 全都是偶数,则 是4的倍数,但 不是4的倍数,与假设矛盾．   

（2）当 为一奇一偶时： 

可知 和 全都是奇数, 那么 应是奇数, 但 是偶数，与假设矛盾． 

　　综上所述，形如 这种表示的数不能表示为两个整数的平方差． 

　　在证明这道题目的时候，我们可以看到，结论的反面情况不止一种，因此我们在解题的过程中，需要将所有的情况一一反驳，才能得到正确的结论．

2。3反证法的逻辑依据

　　用反证法证明命题“若 则 ”，它的全部过程和逻辑依据用如下框图来表示[2]

2。4反证法的解题步骤

运用反证法来证明数学命题时，一般需做到如下几个步骤：

第一步　假设要证明的命题的结论不成立，而假设命题结论的反面成立．

第二步　利用假设内容及命题中的条件，进行正确的逻辑推理，导出与题设条件、已知公理、定理、定义相矛盾的结果，或是导出两个相互矛盾的结果．根据矛盾律，即在推理证明的过程中，不能对同一对象作出两个相反论断，则假设不能成立．

第三步　根据排中律，即在证明的过程中，命题 和命题“非 ”有且仅有一个是正确的，则原结论成立．

在运用反证法证明命题的时候，必须按照这三个步骤进行推理论证．在叙述反证法的步骤时，可以进行总结，将这三个步骤概括为“假设—归谬—结论”．

3　反证法的适用范围论文网

　　我们知道，若一个数学命题形如“若 则 ”式，一般都能用反证法来进行证明．实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效．

3。1否定性命题　

即命题的结论中出现“没有”、“不是”、“不能”等词语的命题．这些命题中常见的否定词语有“不”、“无”、“不是”、“不能”等，这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，正确得出结论．   

证明此类命题，可先假设原命题会出现这种可能，由此出发推出与已知条件或定义或定理或常识相矛盾的结论或推出自相矛盾的结论即可．

　　例3　设 ， 是公比不相等的两个等比数列 ，证明数列 不是等比数列[3]．

　　证明　假设数列 不是等比数列，则 ，已知 ，即

整理得到　　因为 ， 是等比数列，所以有

代入上式可得：设数列 的公比为 ，数列 的公比为 ，则

　　因为 ，所以可得 ，即 ，所以 ，这与题设矛盾，所以得证数列 不是等比数列．

　　分析　本题要求证明 不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，这个时候我们就可以使用反证法进行证明，首先假设 是等比数列，因为一个数列是等比数列是有条件的，这使得证明变得有迹可循．