摘  要: 级数是数学分析的一个重要工具,也是高等数学的重要组成部分。 级数在理论和实际上都有很多应用。 本文讨论了级数求极限中的应用,并通过具体例子说明。

毕业论文关键词: 数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数，求极限。93275

Abstract: The series is an important tool of mathematical analysis, and also an important part of higher mathematics。 The series has many applications in theory and practice。 This paper discusses the application of the series in solving the limit problem by giving specific examples。 

Keywords: Series of numbers, function series, power series, limit

目   录

1引言 4

2预备知识 4

3数项级数在求极限中的应用 7

4幂级数在求极限中的应用 9

4。1 利用幂级数的和函数求极限 9

4。2利用幂级数的展开式求极限 10

5傅里叶级数在求极限中的应用 11

结论 13

参 考 文 献 14

1引言

    极限是数学分析与高等数学的主要内容，是这两门课程中其他理论的基础。因此，深刻理解极限的定义，并且掌握求极限的一些方法，对于这两门课程的学习具有重要的意义。一般来说，求极限常用的方法有：定义法，极限存在准则，利用重要极限求极限，压缩映射原理等等。但对于某些形式的极限问题，利用这些方法来求解仍然还有困难。因此，我们有必要寻求其他求极限的简便方法。本文主要利用无穷级数的有关理论，比如，利用无穷级数收敛的必要条件，利用函数的幂级数展开式，利用级数的和式等，求一些特定形式的数列与函数的极限。

2预备知识论文网

  定义1   给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中 称为数项级数的通项或一般项。

定理1  （数项级数收敛的必要条件）  若级数 收敛，则   

  定理2   设是两个正项级数，若则

（i）当 时,级数 ， 同时收敛或同时发散；

   （ii）当 =0且级数 收敛时，级数 也收敛；

   （iii）当 = 且级数 发散时，级数 也发散。

  定理 3    （比式判别法的极限形式） 若 为正项级数，且

                              ，

则

（i）当q<1时，级数 收敛；

   （ii) 当 或 时，级数 发散；

   （iii）当 时，级数 有可能收敛，也有可能发散。

 定理 4   （根式判别法的极限形式） 设 为正项级数，且

                       ，

则 

（i）当 时，级数 收敛；

   （ii）当 时，级数 发散。

    定理5  （阿贝尔判别法） 对于级数   

若 为单调有界数列，且级数 收敛，则级数 收敛。