问题2：当人们研究确定性种群模型时，寻找其正平衡点并分析正平衡点的稳定性是一个有意义的课题。 但是，模型(2)并没有正平衡点。 因此，其解不能趋于一个正值。 那么，模型(2)是否在某些正值附近仍具有某种稳定性？

问题3：白噪声对模型(2)的稳定性和灭绝性有影响吗？若有影响，影响又是什么？

本文的主要目的就是研究以上问题。 本文结构如下：在第2章，我们将引入一些预备知识。 在第3章，我们将证明对于任意给定的初始条件，模型（2）都存在唯一的全局正解。 在第4章，我们将证明模型（2）中的食饵物种的数量是随机有界的。 在第5章，我们将对模型（2）进行生存分析，得到每个物种依时间平均生存与灭绝的阈值。 在第6章，我们将引入一些数值模拟图像支持理论结果。 在第7章，我们将给出结论。

2 预备知识

① Wienner 过程 设 是带有滤子 的概率空间。 若一维实值连续 适应的随机过程 满足下列条件：

(ⅰ)  ；论文网

(ⅱ) 对任意的 服从均值为零，方差为 的正态分布，也就是 ；

(ⅲ) 对任意的 与 独立，

则 称为Wiener过程或Brown运动。

② Itô 过程 如果 值连续 适应的随机过程 可表示成 

其中 ，则称 为 维Itô过程。

为了方便起见，称上述Itô过程 具有随机微分 ，记为 。

 ③ Itô 公式  令 是Itô过程，其随机微分为 ，

其中 。 若 , 则 仍是一个Itô过程，具有如下随机微分：

其中 表示区间 ； 表示 维空间； 和 分别表示绝对可积函数空间和平方可积函数空间； 表示所有定义在 上满足对 具有连续 阶偏导数，对 具有连续 阶偏导数的实值函数 所构成的集合。

    ④ 随机比较定理   设 分别是随机微分方程 

的解，其中 。 若还满足

(a) 存在定义在 上的满足 以及 的函数 使得

则依概率1有⑤ 强大数定律 设 是在 时为零的实值连续局部鞅，则

以及3 解的存在性与唯一性

为了方便起见，我们定义一些符号。记 ,   

系统（2）表示一个生物种群模型, 因此我们首先必须给出一些条件保证模型（2）对于任意给定的初值存在唯一的全局正解。 实际上，我们有如下定理：

定理1    对于任意初值条件 ，模型（2）几乎确定（a。s。）存在唯一的全局正解。

证明   我们的证明是受到 Ji 等[11]工作的启发。考虑下面的方程组：

具有初值条件 

易见，模型（3）的系数是局部Lipschitz连续的，故对于上述给定的初值条件模型（3）有唯一的局部解 ，其中 表示爆炸时间。 由Itô公式可得， 是模型（3）的唯一的局部正解。 现我们只需证明 。 为此，构建如下的辅助方程：

由著名的随机微分方程的比较定理可得，对于 有   

由Jiang 和 Shi[13] 中的定理2, 方程(4)有显式解

同理，文献综述

注意到当 时， 整体存在，所以  。 证毕。

4 有界性

在上一章中，我们已经证明了对于任意给定的初始条件，模型（2）都存在唯一的全局正解。 接下来，我们将证明模型（2）中的食饵物种的数量是随机有界的。 

定义1   若对 ，存在一个正数 ，使得

 ，

则称模型（2）中的食饵物种的数量是随机有界的。

定理2   对于任意初值 的解, 模型（2）中的食饵物种的数量是随机有界的。

证明   定义  ,其中 。 运用Itô公式可得