摘  要 ： 本文主要讨论由数列的递推关系求解数列极限的问题。由递推关系给出的数列是一类重要的数列,求其极限的方法比较典型、灵活。我们通过归纳和总结,从不同的角度系统的概括出求解这类数列极限的方法。

毕业论文关 键 词 ：递推关系,递推型数列,极限  93628

Abstract：in This paper we discussed the relationship of recursion problem solving sequence limit sequence。 The sequence given by a recursive relation is a kind of important method for the limit of the sequence, typical and flexible。 We will summarize and summarize the method to solve this kind of limit the number of columns from different angles are summarized。 源C于H优J尔W论R文M网WwW.youeRw.com 原文+QQ752-018766

Keyword： recurrence relation, series, limit 

目  录

1 引言5

2 利用施笃兹公式求递推型数列极限5

3 利用存在性求递推型数列极限6

3。1 利用单调有界定理求递推型数列极限8

3。2 利用压缩映像定理求递推型数列极限11

4 利用划归法求递推型数列极限13

5 综合例子14

结论15

参考文献16

致谢17 

1  引言     

极限理论和方法贯穿于整个数学分析的整个体系,是微积分学的重要工具和方法。从函数的连续性,可导性、可积分性到级数理论等,无所不用极限。特别地，作为数列极限是讨论函数的可积性,级数的敛散性等问题的必不可少的重要工具和方法。

本文主要讨论由数列的递推关系来求解数列极限的问题。由递推关系给出的数列是一类非常典型或者说是比较重要的数列,判定此类数列的敛散性和求其极限往往是比较困难的。由于数列递推关系的多样性,所以求解这类数列的极限的方法是比较灵活的。相比起求一般数列的极限,解这类数列的极限使用方法依其特点,往往更具有灵活性和典型性。论文网

在本文中,我们称由递推关系 确定的数列 或者由 ,  给出的数列 为递推关系型数列。对于求解递推关系型数列极限的方法主要有施笃兹公式,单调有界定理,压缩映像定理等。对一些比较特别的递推型数列,可能还需要利用柯西收敛准则去证明数列收敛。因此对于递推关系型数列,求解其极限的方法不是唯一的应不拘泥于形式,把握其所给递推关系的本质,找到合适的“工具”,灵活应用,才能够正确、快速的求解问题。

2  利用施笃兹公式求递推型数列极限

   对与一些简单的递推关系型数列,一般可以通过求解数列的通项达到求解数列极限的目的,然而,对于一些难以确定通项的递推型数列,利用施笃兹公式来求解其数列极限,往往事半功倍。

   例1 已知在数列 中, ,求 。

   分析 虽然我们在直观上可以肯定 是存在的,但是在递推关系里直接取极限是不可取的。针对这道题目,可以看到由已知关系可以求出数列 的通项。

   解  由 知 则数列 是一个等比数列。其中首项为1,公比为 ,则 ,从而 则    。

从例题1我们可以看到,此类题目属于一道比较简单的求解数列极限的题目。题目给出的递推关系容易求解出数列的通项,那么如果求解不出递推型数列的通项,那应该怎么办呢？下面我们就开始论述由施笃兹公式求解递推型数列的极限。

首先,要满足施笃兹公式[4]的条件。对于数列 ,如果数列 是严格增加的,并且 ,又 那么 其中 为有限数。

例2  设 , ,求 。文献综述

分析  首先数列 是属于递推型数列,很显然这道题目要想求出数列的通项是几乎不可能的,通过观察可以发现,如果设 ,则数列 是严格增加的,并且 。