2  导数的基本概念

2。1  导数的定义

引理 在科学研究的过程中，经常会遇到求变量的变化率的问题。比如，物体在做匀速直线运动时，这时物体的速度为物体在 到 的位移差 与相应的时间差 的商

 。

如果物体不是做匀速直线运动而是做变速直线运动，就不能用上面的公式了。但我们可以先求出物体从时刻 到 的平均速度，然后假定 ，求平均速度的极限

 ,

并可以将此极限当作物体在 时刻的瞬时速度。

从数学角度来看， 叫做函数 在 与 的差商，而把 时，该差商的极限值（如果存在的话）叫做函数 在 处的导数。一般情况下，科学研究中一个变量相对于另一个变量的变化率问题，可以转化成求导数的问题进行处理。

函数的平均变化率为  。

注1：其中 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

引理  设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果极限

存在,就说明函数 在 点可导，该极限值为 在 点的导数（或变化率)。记为 ，即

也可记作 或 

2。2  导数的几何意义论文网

1。函数 在 点的导数 的几何意义：表示在函数图像点 的切线斜率

2。导数的物理意义： 物体在某一时刻的瞬时速度。 

2。3  求导数举例

例1  求函数 （C为常数）的导数。

解   ，

即     。

由此得到，常数的导数等于零。例2  求函数 在 处的导数。解   

         。

把以上结果中的a换成x得 ，即    。更一般的，对于幂函数 ，有                     。

幂函数的导数公式由此得到。

例3 求函数 的导数

由此可知，正弦函数的导数是余弦函数。

用类似的方法，可求得

                       ，

换句话说，余弦函数的导数就是负的正弦函数。

例4 求函数 的导数。解       令 ，则 ，当 时， ，于是

所以   即           

这样就得到指数函数的导数公式。特殊的，当 时，因 ，故有

上式表明，以 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 为底的指数函数的一个重要特征。

例5  求函数 的导数。解   

令 ，当 时， ，于是   

所以          ，即             。这样就可以得出对数函数的导数公式，特殊地，当 时，导数公式为             

2。4  常见函数的导数

 （C为常数)  文献综述

3  导数的运算

导数的运算是学习导数的重要工具，也是解决相关问题的重要帮手。

3。1  导数的四则运算

引理 设函数 在点 处可导，则下列各等式成立：

 。（C为常数）

3。2  复合函数的导数

形如的函数 称为复合函数，以这样的形式求导：