。

例2 如图1，正方形 的边长是2，它的顶点坐标是  ，当这个一次函数 的图象 随着 的取值变化而不断变化时，位于 的右下方，并且由图像 和正方形 的边所围成的图形，其面积记为 （这里指的是图中的阴影部分）。那么试解答当 取什么值时，使得 ？在平面直角坐标系下，试着画出来 与 的函数图象。

图1

分析 本题必须牢牢抓住直线在平移的过程中，它的位置关系和它的数量关系之间的变化规律进行求解。

解 在第一问中，设图像L和正方形 的边 、 相交于点 、 ，那么易证 是个等腰三角形。只有当 的时候， 的面积才是1，然后可以求得 ，所以当 时，S=3。第二问中，当 时， ；当 时， ；当 时，S=4。

例3 已知这样一个抛物线 （ ），它的图像经过点 ．

    （1）试求出 的值是多少；

    （2）如果将这个抛物线先向右平移，再向下平移，得到另外一条抛物线，那么已知这条新的抛物线满足以下两个条件：第一，它的对称轴（假设为直线 ）和原抛物线的对称轴（设为直线 ）关于 轴对称，第二，它所对应的函数值最小是-8。

    求平移后的新抛物线 所对应的函数关系式是什么；文献综述

    试问：在平移后的新抛物线上 是否存在着这样一个点 ，使得以3为半径的⊙ 既能与 轴相切，又能与直线 相交？如果存在，请你求出点 的坐标，并试着求出直线被⊙ 所截得到的弦 的长度；如果不存在，请你说明理由．

分析 这里的平移主要表现在几何图形的变换和平面直角坐标系中图形的运动变换，函数图象的平移规律也要熟记。

解（1）将点 代入 中，得到： 

(2)①由题抛物线的函数关系式为 ，经过配方得到 ，这个抛物线的对称轴为 ： ，则新的抛物线 ： 。又因为平移后的新抛物线的函数，其最小值为-8，故平移后的新抛物线所对应的函数关系式： ，即

 。

②假设点 存在，则点 到 轴的距离为3，故点 的纵坐标为3或-3，当纵坐标为3的时候， ，解之得 ， ，因为 ，所以⊙ 不会与直线 相交，所以舍去。当纵坐标是-3的时候， ，解这个方程得 ， ，因为 ，所以⊙ 与直线 有相交， 

上面就是我在分析讨论中，巧用平移思想解决问题的几个例子，平移思想作为一种数学的解题方法，如果巧妙使用的话，可以对解题起到画龙点睛的作用。甚至对一些题目来说，巧妙的平移可以收到“踏破铁蹄无觅处”、“柳暗花明又一村”的奇妙效果。

3 初等数学中的旋转问题

在研究初等数学的旋转问题中，基于旋转问题的重要性和复杂性，对旋转问题的例题，笔者精选精析，采用常用的多种解决旋转问题的方法：如辅助线作图法，问题转化法等，以高频考题为例，研究旋转问题的求解。