摘  要：对称矩阵是一类特殊的矩阵，本文从对称矩阵的定义出发，总结了对称矩阵的基本性质，归纳了对称矩阵的对角化及对称矩阵的正定性等若干性质，给出了对称矩阵在矩阵的对角化，二次型的正定性以及矩阵的特征根等方面的应用。

毕业论文关键词：对称矩阵，转置，特征根，对角化，正定性94345

Abstract: The symmetric matrix is a kind of special matrix。 In this paper,based on the definition of symmetric matrices, the basic properties of symmetric matrices are summarized。 Some properties such as diagonalization of symmetric matrices and positive matrices of symmetric matrices are summarized。 The diagonalization of the quadratic form and the eigenvalue of the matrix。

Keywords: symmetric matrix,transpose,eigenvalue,diagonalization,positive definite

目    录

1对称矩阵的定义及基本性质 4

1。1对称矩阵的定义 4

1。2 对称矩阵的基本性质及证明 5

2对称矩阵的对角化 6

2。1对称矩阵可对角化相关结论 7

2。2 对称矩阵对角化的应用举例 9

3对称矩阵的正定性 15

3。1正定矩阵的定义及判别 15

4应用举例 18

总结 19

参考文献 20

致谢 21

    矩阵是高等代数中的重要内容，是研究线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，在其他领域也有着广泛的应用。对称矩阵是其中一类特殊的矩阵，是研究二次型，线性变换等问题的有利工具，对称矩阵有很多特殊性质，对称矩阵的对角化，正定性的判别等。本文就此讨论一下对称矩阵的对角化的不同方法，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。

1  对称矩阵的定义及基本性质

1。1  对称矩阵的定义

定义1。1。1[1]  设矩阵,记 ，论文网

为矩阵 的转置，记为 。若矩阵 满足条件 则称 为对称矩阵。则

1）对称矩阵必定是方阵；

2）位于主对角线对称位置上的元素一定对应相等。即 ，对任意 都成立。对称矩阵一定形如 。

定义1。1。2  形式为

的矩阵，其中 是数 ，称为对角矩阵。

定义1。1。3  若对称矩阵 的每一个元素都是实数，则称 为实对称矩阵。

1。2  对称矩阵的基本性质及证明

性质1。2。1  同阶对称矩阵的和、差、数乘得到的矩阵还是对称矩阵。

证明  设 、 是 阶对称矩阵，即 , 。则

故 都是对称矩阵。

性质1。2。2  设 为 阶方阵，则 ， ， 也是对称矩阵。

证明  因为 ，

则 是对称矩阵。又 ，

则 是对称矩阵，同理可证 也是对称矩阵。

性质1。2。3  设 为 阶可逆的对称矩阵，则 也是对称矩阵。

证明  因为 可逆， ， ，所以 也是对称矩阵。

性质1。2。4  任一 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。

证明  设 为 矩阵， ，文献综述

由性质2易知 是对称矩阵，又 ，

则 是反对称矩阵。性质1。2。5  设 为对称矩阵， 与 是同阶矩阵，则 也是对称矩阵。证明  因为 ,